Имитационное моделирование системы массового обслуживания (стр. 1 из 7)
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана (Калужский филиал)
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по курсу «Исследование операций»
Имитационное моделирование системы массового обслуживания
Калуга 2009
Задание на работу: Составить имитационную модель и рассчитать показатели эффективности системы массового обслуживания (СМО) со следующими характеристиками:
- число каналов обслуживания n; максимальная длина очереди т;
- поток поступающих в систему заявок простейший со средней интенсивностью λ и показательным законом распределения времени между поступлением заявок;
- поток обслуживаемых в системе заявок простейший со средней интенсивностью µ и показательным законом распределения времени обслуживания.
Сравнить найденные значения показателей с результатами. полученными путем численного решения уравнении Колмогорова для вероятностей состояний системы. Значения параметров СМО приведены в таблице.
| Номер варианта | n | m | λ | µ |
| 7 | 3 | 2 | 4.0 | 1.0 |
Введение
Глава 1. Основные характеристики CМО и показатели их эффективности
1.1 Понятие марковского случайного процесса
1.2 Потоки событий
1.3 Уравнения Колмогорова
1.4 Финальные вероятности и граф состояний СМО
1.5 Показатели эффективности СМО
1.6 Основные понятия имитационного моделирования
1.7 Построение имитационных моделей
Глава 2. Аналитическое моделирование СМО
2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
2.2 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям
Глава 3. Имитационное моделирование СМО
3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)
3.2 Блок-схема программы
3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования
3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования
Заключение
Литература
Приложение 1
Приложение 2
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО).
Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.
Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.
В качестве показателей эффективности СМО используются:
- Абсолютная пропускная способность системы (А), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
- относительная пропускная способность (Q), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;
- вероятность отказа обслуживания заявки (
);- среднее число занятых каналов (k);
- среднее число заявок в СМО (
);- среднее время пребывания заявки в системе (
);- среднее число заявок в очереди (
);- среднее время пребывания заявки в очереди (
);- среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
- среднее время ожидания обслуживания;
- вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.
СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.
Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования.
Глава 1. Основные характеристики CМОи показатели их эффективности
1.1 Понятие марковского случайного процесса
Пусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния
можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно.Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени
вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. 
Рис.1.
1.2 Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.
Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная:
.Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени
двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами.Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени
и 
число событий, попадающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.
Все переходы в системе из состояния в состояние происходят под некоторым потоком событий. Пусть система
находится в некотором состоянии 
, из которого возможен переход в состояние 
, тогда можно считать, что на систему воздействует простейший поток с интенсивностью 
, переводящий ее из состояния в . Как только появляется первое событие потока, происходит ее переход 
. Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки, соответствующей переходу, указывается интенсивность 
. Такой размеченный граф состояний позволяет построить математическую модель процесса, т.е. найти вероятности всех состояний 
как функции времени. Для них составляются дифференциальные уравнения, называемые уравнениями Колмогорова.