Смекни!
smekni.com

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (стр. 1 из 2)

РЕФЕРАТ

По курсу “Теория информации и кодирования”

на тему:

"КОДЫ БОУЗА-ЧОУДХУРИ-ХОКВИНГЕМА"


БЧХ коды

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) – класс циклических кодов, исправляющих кратные ошибки, т. е. две и более (d0 ³ 5).

Теоретически коды БЧХ могут исправлять произвольное количество ошибок, но при этом существенно увеличивается длительность кодовой комбинации, что приводит к уменьшению скорости передачи данных и усложнению приемо-передающей аппаратуры (схем кодеров и декодеров).

Методика построения кодов БЧХ отличается от обычных циклических, в основном, выбором определяющего полинома P(х). Коды БЧХ строятся по заданной длине кодового слова n и числа исправляемых ошибок S , при этом количество информационных разрядов k не известно пока не выбран определяющий полином.

Рассмотрим процедуру кодирования с использованием кода БЧХ на конкретных примерах.

Пример Построить 15-разрядный код БЧХ, исправляющий две ошибки в кодовой комбинации (т. е. n = 15, S = 2).

Решение:

1. Определим количество контрольных m и информационных разрядов k

m £ h S .

Определим параметр h из формулы

n = 2h-1, h = log2(n+1) = log216 = 4,

при этом: m £ h S = 4×2 = 8; k = n-m = 15-8 = 7.

Таким образом, получили (15, 7)-код.

2. Определим параметры образующего полинома:

- количество минимальных многочленов, входящих в образующий

L = S = 2;

- порядок старшего (все минимальные - нечетные) минимального многочлена r = 2S-1 = 3;

- степень образующего многочленаb = m £ 8.

3. Выбор образующего многочлена.

Из таблицы для минимальных многочленов для кодов БЧХ (см. приложение 4) из колонки 4 (т. к. l = h = 4) выбираем два минимальных многочлена 1 и 3 (т. к. r = 3):

M1(x) = 10011;

M2(x) = 11111.

При этом

P(x) =M1(x)×M2(x)=10011´11111=111010001= x8+ x7+ x6+ x4+1.

4. Строим образующую матрицу. Записываем первую строку образующей матрицы, которая состоит из образующего полинома с предшествующими нулями, при этом общая длина кодовой комбинации равна n = 15. Остальные строки матрицы получаем в результате k-кратного циклического сдвига справа налево первой строки матрицы.


Строки образующей матрицы представляют собой 7 кодовых комбинаций кода БЧХ, а остальные могут быть получены путем суммирования по модулю 2 всевозможных сочетаний строк матрицы.

Процедура декодирования, обнаружения и исправления ошибок в принятой кодовой комбинации такая же, как и для циклических кодов с d0 < 5

Пример Построить 31-разрядный код БЧХ, исправляющий три ошибки в кодовой комбинации (т. е. n = 31, S = 3).

Решение:

1. Определим количество контрольных разрядов m и информационных разрядов k.

m £ h S.

Определим параметр h из формулы

n = 2h-1,h = log2(n+1) = log232 = 5,

при этом: m £ h S = 5×3 = 15; k = n-m = 31-15 = 16.

Таким образом, получили (31, 16)-код.

2.Определим параметры образующего полинома:

- количество минимальных многочленов, входящих в образующий

L = S = 3;

- порядок старшего минимального многочлена

r = 3S-1 = 5;

- степень образующего многочлена

b = m £ 15.

1. Выбор образующего многочлена.


Из таблицы для минимальных многочленов для кодов БЧХ ( приложение 4) из колонки 5 (т. к. l = h = 5) выбираем три минимальных многочлена 1, 3 и 5 (т. к. r = 5):

M1(x) =100101;

M2(x) =111101;

M3(x) =110111.

При этом

P(x) = M1(x) ×M2(x) ×M3(x) =1000111110101111=

= x15+ x11 +x10+ x9+ x8+ x7+ x5+ x3 + x2+x+ 1.

4. Строим образующую матрицу. Записываем первую строку образующей матрицы, которая состоит из образующего полинома с предшествующими нулями, при этом общая длина кодовой комбинации равна n = 31. Остальные строки матрицы получаем в результате k-кратного циклического сдвига справа налево первой строки матрицы.

000000000000000100011111011111

G(31,16)=000000000000001000111110111110

. . .

100011111011111000000000000000

Строки образующей матрицы представляют собой 16 кодовых комбинации кода БЧХ, а остальные могут быть получены путем суммирования по модулю 2 всевозможных сочетаний строк матрицы.

Декодирование кодов БЧХ

Коды БЧХ представляют собой циклические коды и, следовательно, к ним применимы любые методы декодирования циклических кодов. Открытие кодов БЧХ привело к необходимости поиска новых алгоритмов и методов реализации кодеров и декодеров. Получены существенно лучшие алгоритмы, специально разработанные для кодов БЧХ. Это алгоритмы Питерсона, Бэрлекэмпа и др.

Рассмотрим алгоритм ПГЦ (Питерсона-Горенстейна-Цирлера). Пусть БЧХ код над полем GF(q) длины n и с конструктивным расстоянием d задается порождающим полиномом g(x), который имеет среди своих корней элементы

,
— целое число (например 0 или 1). Тогда каждое кодовое слово обладает тем свойством, что
. Принятое слово r(x) можно записать как r(x) = c(x) + e(x), где e(x) — полином ошибок. Пусть произошло
ошибок на позициях
(t максимальное число исправляемых ошибок), значит
, а
— величины ошибок.

Можно составить j-ый синдром Sj принятого слова r(x):

.

Задача состоит в нахождений числа ошибок u, их позиций

и их значений
при известных синдромах Sj.

Предположим, для начала, что u в точности равно t. Запишем (1) в виде системы нелинейных уравнений в явном виде:


Обозначим через

локатор k-ой ошибки, а через
величину ошибки,
. При этом все Xk различны, так как порядок элемента β равен n, и поэтому при известном Xk можно определить ik как ik = logβXk.

Составим полином локаторов ошибок:

Корнями этого полинома являются элементы, обратные локаторам ошибок. Помножим обе части этого полинома на

. Полученное равенство будет справедливо для

:

Положим

и подставим в (3). Получится равенство, справедливое для каждого
и при всех
:

Таким образом для каждого l можно записать свое равенство. Если их просуммировать по l, то получиться равенство, справедливое для каждого

:

.

Учитывая (2) и то, что

(то есть

меняется в тех же пределах, что и ранее) получаем систему линейных уравнений:

.

Или в матричной форме

,

Где

Если число ошибок и в самом деле равно t, то система (4) разрешима, и можно найти значения коэффициентов

. Если же число u < t, то определитель матрицы S(t) системы (4) будет равен 0. Это есть признак того, что количество ошибок меньше t. Поэтому необходимо составить систему (4), предполагая число ошибок равным t − 1. Высчитать определитель новой матрицы S(t − 1) и т. д., до тех пор, пока не установим истинное число ошибок.

После этого можно решить систему (4) и получить коэффициенты полинома локаторов ошибок. Его корни (элементы, обратные локаторам ошибок) можно найти простым перебором по всем элементам поля GF(qm). К ним найти элементы, обратные по умножению, — это локаторы ошибок

. По локаторам можно найти позиции ошибок (ik = logβXk), а значения Yk ошибок из системы (2), приняв t = u. Декодирование завершено.