Компьютерное моделирование технологических процессов (стр. 10 из 16)
Рис. 22. Полной двухфакторной эксперимент на плоскости
В табл. 14 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат.
Основные принципы построения матриц планирования полного факторного эксперимента: 1) уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту; 2) частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у предыдущего.
Таблица 13Условия полного трехфакторного эксперимента
| Номер опыта | Факторы | Функция отклика | ||
| X1 | X2 | X3 | ||
| 1. | - 1 | - 1 | -1 | y1 |
| 2. | + 1 | - 1 | - 1 | y2 |
| 3. | - 1 | + 1 | - 1 | y3 |
| 4. | + 1 | + 1 | - 1 | y4 |
| 5. | - 1 | - 1 | + 1 | y5 |
| 6. | + 1 | -1 | + 1 | y6 |
| 7. | - 1 | + 1 | + 1 | y7 |
| 8. | + 1 | + 1 | + 1 | y8 |
Общее число опытов полного факторного эксперимента:
где n— число факторов.
На основании результатов полного факторного эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь следующими формулами:
Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми - незначимыми. Чтобы установить, значим коэффициент или нет, необходимо прежде всего вычислить оценку дисперсии, с которой он определяется:
Следует отметить, что по результатам полного факторного эксперимента все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью.
Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие
где
— значение критерия Стьюдента, взятое из табл. 15.Для пользования табл. 15 необходимо знать число степеней свободы
связанное с оценкой дисперсии 
Таблица 15 Значения критерия Стьюдента
| f | t |
| 1 | 12,71 |
| 2 | 4,30 |
| 3 | 3,18 |
| 4 | 2,78 |
| 5 | 2,57 |
| 6 | 2.45 |
| 7 | 2,36 |
| 8 | 2,31 |
| 9 | 2,26 |
| 10 | 2,23 |
Если проверка показала, что коэффициент регрессии незначим, то соответствующий член можно исключить из уравнения.
Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность, то есть способность достаточно хорошо описывать поверхность отклика и прогнозировать результаты опытов. Для проверки адекватности вычисляют оценку дисперсии адекватности по формуле
Здесь
—число значимых коэффициентов регрессии; 
—экспериментальное и расчетное значение функции отклика в 
опыте; 
— число опытов полного факторного эксперимента.С оценкой дисперсии адекватности связано число степеней свободы
Затем находят расчетное значение критерия Фишера:
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие
где
—критическое значение критерия Фишера табл. 16.Для пользования табл. 19 необходимо знать числа степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем отношения
Методом дробного факторного эксперимента
С увеличением числа учитываемых факторов резко возрастает число опытов полного факторного эксперимента.
Для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить объем экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробного факторного эксперимента, который известен также под названием метода дробных реплик.
Этот метод заключается в том, что для нахождения уравнения регрессии используется определенная часть полного факторного эксперимента:
и т. д. Такие системы опытов называются дробными репликами табл. 19.Таблица 19
Полный трехфакторный эксперимент и его дробные реплики
Расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности математического описания в данном случае осуществляются так же, как и при полном факторном эксперименте.
Пусть требуется найти коэффициенты уравнения регрессии
Если для этой цели воспользоваться полным трехфакторным экспериментом, то необходимо провести 8 опытов. Однако эту задачу можно решить и с помощью меньшего числа опытов. Например, возьмем матрицу полного двухфакторного эксперимента табл. 20 и приравняем произведение
к фактору 
Рассчитаем коэффициенты регрессии:
Обратим внимание на то, что в табл. 20 столбцы для произведения
и фактора 
полностью совпадают. Поэтому коэффициенты регрессии 
и 
не могут быть определены раздельно.Таблица 20 Дробный факторный эксперимент типа 23-1
| Номер опыта | X1 | X2 | X1X2 | X3 | Функция отклика |
| 1 | - 1 | - 1 | + 1 | + 1 | y1 |
| 2 | + 1 | - 1 | - 1 | -1 | y2 |
| 3 | - 1 | + 1 | -1 | - 1 | y3 |
| 4 | + 1 | + 1 | + 1 | + 1 | y4 |
Может быть найдена только их сумма:
Этот недостаток рассматриваемого плана является своеобразной «платой» за уменьшение общего числа опытов с восьми до четырех.
Такое планирование эксперимента, когда некоторые из факторов приравнивают к произведениям нескольких факторов, называется планированием со смешиванием. Его обозначают символом
где 
— общее число факторов, а 
— число факторов, приравненных к произведениям. С этой точки зрения в табл. 20 приведена матрица планирования типа 
Существует правило, позволяющее определить, какие коэффициенты регрессии определяются совместно при планировании со смешиванием. Рассмотрим это правило на примере.
Методом дробных реплик будем искать математическое описание процесса в виде уравнения регрессии
Воспользуемся планированием типа
и примем 
Такие равенства в методе дробных реплик называются генерирующими соотношениями.
Следует отметить, что выбор генерирующих соотношений в общем случае произволен. Однако он существенно влияет на характер совместных оценок коэффициентов регрессии.
Правило определения совместных оценок коэффициентов заключается в следующем:
Примем во внимание, что
Умножив обе части генерирующих соотношений соответственно на
и 
получим: 
Эти равенства называются определяющими контрастами. Перемножив их почленно, получим новые определяющие контрасты.
В данном случае _
