Решение задач исследования операций

Целевая функция. Базисная переменная. Симплекс метод, таблица. Коэффициенты при свободных переменных в целевой функции. Задача квадратичного программирования, максимизации функции. Функция Лагранжа. Координаты стационарной точки. Система ограничений.

Курсовая работа

по дисциплине

Исследование операций

Руководитель:

Плотникова Н. В.

«____» ___________ 2005 г.

Автор:

Студент группы ПС-346

Попов А. Е..

«____» ___________ 2005 г.

Работа защищена

с оценкой

«____» ___________ 2005 г.

Оглавление

1 Условия задач. 3

2 Решение задач исследования операций. 4

2.1 Решение задачи 1. 4

2.2 Решение задачи 2. 8

2.3 Решение задачи 3. 12

2.4 Решение задачи 4. 17


1 Условия задач


2 Решение задач исследования операций

2.1 Решение задачи 1

Для составления математической модели задачи введём переменные:

– количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 1

– количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 2

x3a – количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 3

x1b – количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 1

x2b – количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 2

x3b – количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 3

x1c – количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 1

x2c – количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 2

x3c – количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 3

На складах A, B, C находится 90, 60, 90 тонн горючего соответственно, следовательно, можно записать:

На каждую заправку нужно оправить одинаковое количество горючего, равное (90+60+90)/3:

В соответствии со стоимостями перевозок запишем целевую функцию, которую необходимо минимизировать:

Имеем классическую транспортную задачу с числом базисных переменных, равным n+m–1 , где m–число пунктов отправления, а n – пунктов назначения. В решаемой задаче число базисных переменных равно 3+3-1=5.

Число свободных переменных соответственно 9-4=4.

Примем переменные x1a, x1b, x2a, x2с, x3с в качестве базисных, а переменные x1c, x2b, x3а, x3b в качестве свободных (данный выбор позволяет легко выразить базисные переменные через свободные).

Далее в соответствии с алгоритмом Симплекс метода необходимо выразить базисные переменные через свободные:

Следующий шаг решения – представление целевой функции через свободные переменные:

В задании требуется найти минимум функции L. Так как коэффициент при переменной x1c меньше нуля, значит найденное решение не является оптимальным.

Составим Симплекс таблицу:


bi

x3a

x2b

x3b

x1c

L

630

-10

-3

1

-1

0

-4

4

1

-1

x1a

20

-10

0

1

-1

0

-1

1

1

-1

x1b

60

0

0

0

1

0

1

0

0

0

x2a

70

10

1

-1

1

0

1

-1

-1

1

x2c

10

10

-1

-1

0

0

-1

-1

1

1

x3c

80

0

1

0

0

0

1

0

0

0

Выбор в качестве разрешающей строки х2с обусловлен тем, что именно в этой строке отношение свободного члена к переменной х1с минимально. Выполним необходимые преобразования над элементами Симплекс таблицы:

bi

x3a

x2b

x3b

x2c

L

620

-2

-1

0

-1

x1a

10

1

-1

0

-1

x1b

60

0

1

1

0

x2a

80

0

1

0

1

x1c

10

-1

0

-1

1

x3c

80

1

0

1

0

Все коэффициенты при свободных переменных неположительные, следовательно, найденное решение является оптимальным. Запишем его:

x1a=10; x1b=60; x1c=10;

x2a=80; x2b=0; x2c=0;

x3a=0; x3b=0; x3c=80;

L=620;

Для проверки правильности вычислений можно составить транспортную таблицу:

A

B

C

1

10

60

10

80

2

80

0

0

80

3

0

0

80

80

90

60

90

После анализа таблицы можно сделать вывод, что вычислительных ошибок при расчетах сделано не было.

Ответ:

x1a=10 x1b=60 x1c=10

x2a=80 x2b=0 x2c=0

x3a=0 x3b=0 x3c=80

L=620

2.2 Решение задачи 2

Составим систему ограничений исходя из условия задачи

Целевая функция задачи имеет вид:

Пусть переменные x1 и x2 - свободные, а переменные x3, x4 и x5 – базисные.

Далее необходимо представить систему ограничений в стандартном виде. Для этого проведем ряд преобразований:

Подставим выражения для x3 и x4 в третье уравнение системы ограничений:

Упростим полученное выражение и выразим x5:

Теперь можно представить систему ограничений в стандартном виде:

Необходимо также выразить целевую функцию через свободные переменные:

Теперь можно заполнить Симплекс-таблицу

bi

x1

x2

L

1

-1

-3

x3

2

-1

2

x4

2

1

1

x5

1

1

-1

Исходя из того, что все свободные члены положительны, можно сделать вывод о том принятое решение является опорным.

Далее нужно выбрать разрешающий элемент. В качестве разрешающего столбца целесообразно принять столбец x1, так как коэффициент при x1 в целевой функции меньше коэффициента при x2. Разрешающей строкой будет строка x5­, так как отношение свободного члена этой строки к коэффициенту при x1 минимально. Отметим найденный разрешающий элемент в таблице, а также заполним необходимые клетки:

bi

x1

x2

L

1

1

-1

1

-3

-1

x3

2

1

-1

1

2

-1

x4

2

-1

1

-1

1

1

x5

1

1

1

1

-1

-1

Перерисуем таблицу с учётом замены x2 на x3:

bi

x5

x2

L

2

1

-4

x3

3

1

1

x4

1

-1

2

x1

1

1

-1

Коэффициент при х2 в целевой функции отрицателен, значит необходимо произвести ещё одну замену. В качестве разрешающей строки примем x3. Таким образом, разрешающим будет элемент, стоящий на пересечении строки x3 и столбца x2.

bi

x5

x2

L

2

12

1

4

-4

4

x3

3

3

1

1

1

1

x4

1

-6

-1

-2

2

-2

x1

1

3

1

1

-1

1

В итоге получим:

bi

x5

x3

L

14

5

4

x2

3

1

1

x4

-5

-1

0

x1

4

2

1

Коэффициенты при свободных переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение является оптимальным.

Ответ:

x1=4

x2=3

x3=0

x4=-5

x5=0

L=14

2.3 Решение задачи 3

Условие задачи задано в виде транспортной таблицы:

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

15

10

300

A2

21

30

20

100

A3

18

40

25

200

A4

23

22

12

800

A5

25

32

45

200

заявки

500

300

800

Применим к задаче метод «Северо-Западного угла». Для этого заполним таблицу начиная с левого верхнего угла без учёта стоимости перевозок:

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

300

300

A2

100

100

A3

100

100

200

A4

200

600

800

A5

200

200

заявки

500

300

800

В таблице заполнено n+m-1=7 клеток, значит найденное решение является опорным. Далее необходимо улучшить план перевозок в соответствии со стоимостями доставки грузов. Для этого используем циклические перестановки в тех циклах, где цена отрицательна.

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

300

15

10

300

A2

21

100

30

20

100

A3

18

100

40

100

25

200

A4

23

22

200

12

600

800

A5

25

32

45

200

200

заявки

500

300

800

В данной таблице в верхней части ячейки указана стоимость перевозки, а в нижней количество перевозимого груза. Прямоугольником выделен отрицательный цикл γ1=25+22-40-12=-5. Минимальное значение перевозок, стоящих в отрицательных вершинах равно k1=100. В итоге получим уменьшение стоимости перевозки:

ΔL1=-5*100=-500

Транспортная таблица примет следующий вид:

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

300

15

10

300

A2

21

100

30

20

100

A3

18

100

40

25

100

200

A4

23

22

300

12

500

800

A5

25

32

45

200

200

заявки

500

300

800

γ2=12+32-45-22=-23 k2=200 ΔL2=-23*200=-4600

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

300

15

10

300

A2

21

100

30

20

100

A3

18

100

40

25

100

200

A4

23

22

100

12

700

800

A5

25

32

200

45

200

заявки

500

300

800

γ3=10+18-50-25=-47 k3=100 ΔL3=-47*100=-4700

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

200

15

10

100

300

A2

21

100

30

20

100

A3

18

200

40

25

200

A4

23

22

100

12

700

800

A5

25

32

200

45

200

заявки

500

300

800

γ4=10+23-12-50=-29 k4=200 ΔL4=-29*200=-6800

ПН

ПО

B1

B2

B3

запасы

A1

50

15

10

300

300

A2

21

100

30

20

100

A3

18

200

40

25

200

A4

23

200

22

100

12

500

800

A5

25

32

200

45

200

заявки

500

300

800

Отрицательных циклов в транспортной таблице больше нет. Следовательно, можно предположить, что найденное решение является оптимальным. Для проверки применим метод потенциалов.

Составим систему:

Положим β2=0, тогда α4=-22

β1=1, α2=-20

β3=-10, α2=-22

α1=-20, α5=-32

Все коэффициенты α отрицательны, значит, найденный план перевозок является оптимальным.

Ответ:

x21=100;

x31=200;

x41=200;

x42=100;

x52=200;

x13=300;

x43=500.

2.4 Решение задачи 4

Составим математическую модель поставленной задачи.

Найти минимум функции f(x1,x2)

При ограничениях

Заменив знак функции f(x1,x2) на противоположный, перейдем к поиску максимума функции:

Теперь задача приведена к стандартному виду задачи квадратичного программирования. Приступим к решению.

1) Определим стационарную точку

Решив систему, получим:

x1=10

x2=7

Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений. Поэтому проверять стационарную точку на относительный максимум нет необходимости.

2) Составим функцию Лагранжа:

Применив к функции Лагранжа теорему Куна-Таккера, будем иметь систему:

3) Преобразуем полученную систему:

Из уравнения 3 системы следует, что x2=6-x1:

Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:

4) Запишем условия дополняющей нежесткости:

5) Введем в систему уравнений искусственные переменные z1,z2:

Поставим задачу максимизации функции .

Для решения этой задачи воспользуемся Симплекс-методом. Примем переменные z1 и z2 в качестве базисных:

Составим Симплекс таблицу:

bi

x1

U1

U2

V1

V2

φ

-17M

0

-5M

0

0

0

M

0

M

0

-M

0

z1

9

8

2

3

-1

1

2

-3

-1

0

0

1

z2

8

8

3

3

1

1

-3

-3

0

0

1

1

W

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

bi

x1

z2

U2

V1

V2

φ

-17M

17M

-5M

M

0

M

M

-M

M

-M

-M

M

z1

17

17/5

5

1/5

1

1/5

-1

-1/5

-1

-1/5

1

1/5

U1

8

-51/5

3

-3/5

1

-3/5

-3

3/5

0

3/5

1

-3/5

W

0

17/5

-1

1/5

0

1/5

0

-1/5

0

-1/5

0

1/5

bi

z1

z2

U2

V1

V2

φ

0

M

M

0

0

0

x1

17/5

1/5

1/5

-1/5

-1/5

1/5

U1

-11/5

-3/5

-2/5

1/2

3/5

-2/5

W

17/5

1/5

1/5

-1/5

-1/5

1/5

В итоге получим

x1=17/5

x2=6-x1=13/5

Как видно, координаты стационарной точки сильно отличаются от координат, полученных в качестве ответа. Это можно объяснить тем, что стационарная точка не удовлетворяет условиям ограничений.

Условия дополняющей нежесткости

выполняются.

Следовательно, найденное решение является оптимальным.

Найдем значения целевой функции:

=- 51/5 - 52/5 + 289/50 – 221/25 + 169/25 =

= -16.9

Ответ:

x1 = 17/5

x2 = 13/5

f(x1,x2) = -16.9