Генерация матриц (стр. 1 из 8)
Курсовая работа
"Генерация матриц"
В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т.д.
Целью курсовой работы является разработка алгоритма и написание на его основе программы, которая генерирует квадратную матрицу по ее введенному определителю, размерности и диапазона элементов матрицы.
Данная курсовая работа состоит двух глав, включающих в себя каждая несколько параграфов и подпунктов.
В первой главе приведена теоретическая часть по генерации матриц, включающая основные понятия и определения теории матриц, основные теоремы теории матриц, дающие научную основу для разработки алгоритма генерации матриц и написании на его основе программы. Здесь вводятся основные операции над матрицами и детально изучаются свойства определителей, являющихся основой числовой характеристикой квадратных матриц.
Во второй главе рассказывается об основных проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании программы, приводится алгоритм генерации матриц, описываются некоторые важные части программы, основывающейся на алгоритме, и приводится листинг программного продукта.
В заключении говорится о проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании на его основе программы, и о путях усовершенствования предложенного алгоритма и программы.
1.1 Матрицы. Действия с матрицами
Все определения, теоремы, свойства, следствия и их доказательства, используемые в курсовой работе, взяты из книги В.А. Ильина, Э.Г. Позняка «Линейная алгебра».
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов (размера 
).
Числа m и n называются порядками матрицы. Если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n – её порядком.
Для записи матрицы применяются либо сдвоенные черточки, либо круглые или квадратные скобки:
Для краткого обозначения матрицы часто используется либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ
, либо 
.Числа
, входящие в состав данной матрицы, называются её элементами.В записи первый индекс 
означает номер строки, а второй индекс 
– номер столбца.В случае квадратной матрицы
(1.1)вводится понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ a11a22 … ann, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю матрицы называется диагональ an1a(n-1)2 … a1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Прежде всего, будем считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдём к определению основных операций над матрицами.
Сложение матриц.Суммой двух матриц
и 
одних и тех же порядков m и n называется матрица 
тех же порядков m и n, элементы cij которой равны 
(1.2)Для обозначения суммы двух матриц используется запись C=A+B. Операция составления суммы матриц называется их сложением.
Итак, по определению
==
Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что и операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: A+B=B+A,
2) сочетательным свойством: (A+B)+C=A+(B+C).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы
на вещественное число λ называется матрица 
, элементы cij которой равны 
(1.3)Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=λA или C=Aλ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
Из формулы (1.3) видно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (λμ) A = λ(μA);
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: λ (A+B) = λA + λB;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (λ+μ) A = λA + μA.
Замечание. Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков m и n естественно назвать такую матрицу C тех же порядков m и n, которая в сумме с матрицей B даёт матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.
Очень легко убедиться, что разность Cдвух матриц A и B может быть получена по правилу C = A + (– 1) B.
Перемножение матриц.Произведением матрицы
, имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу 
, имеющую порядки, соответственно равные m и p,называется матрица 
,имеющая порядки, соответственно равные т и р,и элементы cij,определяемые формулой 
.(1.4)Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись
. Операция составления произведения матрицы Aна матрицу Bназывается перемножением этих матриц.Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу B:необходимо, чтобы число столбцов матрицы Aбыло равно числу строк матрицы B.
В частности, оба произведения
и 
можно определить лишь в том случае, когда число столбцов Aсовпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы и будут квадратными, но порядки их будут различными. Для того чтобы оба произведения и не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и Bбыли квадратными матрицами одного и того же порядка.Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cijстоящий на пересечении i‑й строки и j‑го столбца матрицы C =
, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i‑й строки матрицы Aи j‑го столбца матрицы B.В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка
.Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы Aна матрицу B:
1) сочетательное свойство: (AB) C = A(BC);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A+B) C=AC+BCили A (B+C)=AB+AC.
Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если
, 
, 
,то элемент 
матрицы (AB) Cв силу (1.4) равен 
, а элемент 
матрицы A(BC) равен 
, но тогда равенство = вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительноjи k.