Смекни!
smekni.com

Математические и логические основы информатики (стр. 3 из 6)

Из этой формулы и (ØAÉB)&(ØAÉØB) по правилу вывода modus ponens следует, что имеет место утверждение A.

4. Доказательство необходимых и достаточных условий.

В математике часто встречаются теоремы вида: "Условие A равносильно условию В", что также выражается словами: "Для того, чтобы имело место условие А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие В". В виде формулы логики высказываний такая теорема может быть записана в виде: А~В. Доказательство ее обычно сводится к доказательству двух утверждений:

1. АÉВ (Если имеет место условие А, то выполняется и условие В)

2. ВÉА (Если имеет место условие В, то выполняется и условие А).[5])

Первое условие называют необходимым (то есть, В необходимо для А), а второе условие - достаточным (то есть, А достаточно для В). По-другому, первое называют прямой теоремой, а второе - обратной.

Доказательство и прямой, и обратной теорем может быть осуществлено любым из трех приведенных выше способов. После чего, можно утверждать и справедливость теоремы "Условие A равносильно условию В".

Существует и другой способ доказательства теорем вида: "Условие A равносильно условию В", когда одновременно доказывается необходимость и достаточность условия В для А. Для этого находится последовательность тождественно-истинных эквиваленций вида: A~A1, A1~A2,…,An-1~An, An~B, где A1,A2,A3,…,An - некоторые вспомогательные высказывания.

Отсюда делается вывод (в силу транзитивности эквиваленции) о справедливости теоремы A~B.

Наконец, доказательство теоремы вида A~B можно заменять доказательством равносильной ей противоположной теоремы ØА~ØВ. (В равносильности этих теорем легко убедиться с помощью таблиц истинности.)

Изложив основные структуры математических доказательств, мы надеемся, что читатель теперь по иному будет относиться к доказательству любой теоремы из курсов линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и т.д. Приступая к изучению доказательства любой теоремы, прежде всего, необходимо выяснить структуру доказательства, постараться отнести его к одному из рассмотренных четырех видов, а уже затем изучать само доказательство, четко представляя ту идею, которую применил автор теоремы для того, чтобы ее доказать.

Применение логики высказываний к анализу и синтезу

переключательных (контактных) схем

Переключательной (или контактной) схемой мы будем называть участок электрической цепи, включающий ряд переключателей (контактных выключателей), подобный приведенному на рис.2.2.

Рис.2.2. Вид переключательной схемы.

Каждому переключателю схемы сопоставим пропозициональную переменную Xi, которая будет принимать значение И (истина) или Л (ложь), если соответствующий переключатель замкнут или разомкнут (то есть, не проводит электрический ток).

Поскольку функция участка электрической цепи состоит в том, чтобы проводить электрический ток, то два участка, содержащие одни и те же переключатели и проводящие или не проводящие ток при одном и том же состоянии всех выключателей , мы будем считать "равными" и не различать между собой.

Легко сообразить, что участку цепи, представляющему собой последовательное соединение двух переключателей X1 и X2 будет отвечать формула логики высказываний, представляющая собой конъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2, то есть, X1&X2 (что означает, что такой участок проводит ток тогда и тогда, когда оба переключателя X1 и X2 замкнуты), а участку цепи, представляющему собой параллельное соединение двух переключателей X1 и X2 - формула, представляющая собой дизъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2, то есть, X1ÚX2. Сказанное представлено на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Соответствие формул логики высказываний видам соединения переключателей.

Условимся обозначать через И всегда замкнутый контакт, а через Л - всегда разомкнутый. На схемах это будет выглядеть так, как представлено на рис. 2.4.

Рис.2.4. Соответствие логических констант всегда замкнутому и всегда разомкнутому контактам.

Условимся, наконец, обозначать через Xi и ØXi такую пару контактов, что когда контакт Xi замкнут, контакт ØXi обязательно разомкнут, и наоборот. Техническое осуществление такой пары контактов показано на рис.2.5.

Рис.2.5. Реализация контактов Xi и ØXi.


Ясно, что параллельное и последовательное соединение переключательных схем обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, идемпотентности.

Несколько сложнее проверяется выполнимость двух законов дистрибутивности:

Приведены попарно эквивалентные переключательные схемы, подтверждающие справедливость указанных законов дистрибутивности для переключательных схем.

Таким образом, все законы логики высказываний имеют аналоги в логике переключательных схем. Это, во-первых, позволяет моделировать сложные высказывания с помощью электрических цепей. Во-вторых, конструировать (синтезировать) переключательные схемы, удовлетворяющие наперед заданным условиям (которые могут быть и достаточно сложными).

Булевские функции

Многим из читателей, мы полагаем, приходилось иметь дело с так называемыми числовыми функциями: алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и т.д. Все они характеризовались тем, что область определения и область значений функций представляли собой подмножества множества действительных чисел.

Например, функция y = f(x), задаваемая формулой y = sin(x) + 1, имеет в качестве области определения (обычно обозначается буквой Х) все множество действительных чисел, а в качестве области значений (чаще обозначаемой буквой Y) множество неотрицательных чисел, принадлежащих интервалу [0, 2]; функция y = j(x) , задаваемая формулой j(x)=|lgx|+5, в качестве области определения имеет множество всех положительных действительных чисел, а в качестве области значений - множество положительных действительных чисел, больших 5.

Рассматриваемые нами здесь булевские (логические) функции характеризуются тем, что аргументы и сама функция принимают значения из множества логических констант {И, Л}.

В теории булевских функций чаще используются "числовые" эквиваленты логических констант: 1 вместо И, 0 - вместо Л. Ниже мы будем придерживаться именно этих обозначений.

Булевская функция в общем случае может содержать n аргументов: y=f(x1,x2,…,xn).

Как и математические функции, булевские функции могут задаваться: словесно, таблично или аналитически. Мы будем использовать последние два способа задания булевских функций: табличный (в виде таблиц истинности) и аналитический (в виде формул логики высказываний). Одна и та же функция может, естественно, задаваться по-разному.

Булевские функции одной переменной

Булевских функций от одной переменной всего 4. Эти функции и задающие их формулы логики высказываний приведены в следующей таблице:

x 0 1 Формулы логики высказываний, задающие функции
φ1 0 0 φ1(x) = 0 (константа 0)
φ2 0 1 φ2(x) = x (совпадает с переменной х)
φ3 1 0 φ3(x) = Øx (является отрицанием переменной х)
φ4 1 1 φ4(x) = 1 (константа 1)

Булевских функций от двух переменных всего насчитывается 16. Все они представлены в следующей таблице:

x 0 0 1 1 Формулы логики высказываний, задающие функции
y 0 1 0 1
f1 0 0 0 0 f1(x,y) = 0 (константа 0)
f2 0 0 0 1 f2(x,y) = x&y (конъюнкция)
f3 0 0 1 0 f3(x,y) = Ø(xÉy) (отрицание импликации)
f4 0 0 1 1 f4(x,y) = x (совпадает с переменной x)
f5 0 1 0 0 f5(x,y) = Ø(yÉx) (отрицание обратной импликации)
f6 0 1 0 1 f6(x,y) = y (совпадает с переменной y)
f7 0 1 1 0 f7(x,y) = xÅy (строгая дизъюнкция)
f8 0 1 1 1 f8(x,y) = xÚy (дизъюнкция)
f9 1 0 0 0 f9(x,y) = Øx&Øy (конъюнкция отрицаний)
f10 1 0 0 1 f10(x,y) = x~y (эквиваленция)
f11 1 0 1 0 f11(x,y) = Øy (отрицание y)
f12 1 0 1 1 f12(x,y) = yÉx (обратная импликация)
f13 1 1 0 0 f13(x,y) = Øx (отрицание x)
f14 1 1 0 1 f14(x,y) = xÉy (импликация)
f15 1 1 1 0 f15(x,y) = Ø(x&y) (отрицание конъюнкции)
f16 1 1 1 1 f16(x,y) = 1 (константа 1)

Естественно, многие из перечисленных функций могут быть заданы другими, но равносильными формулами логики высказываний.

Булевские функции n переменных

Областью определения такой булевской функции будет n-тая декартова степень множества {0,1}, то есть всевозможные двоичные наборы длины n вида <a1a2…an>, где aiÎ{0,1}. Число таких всевозможных наборов (n-ок) составляет 2n.

Область значений булевской функции от n переменных - это множество {0,1}.

В дальнейшем мы будем рассматривать только всюду определенные булевские функции, то есть область определения таких функций совпадает с n-той декартовой степенью множества {0,1}.

Булевские функции от большего числа переменных могут быть так же заданы таблично, или с помощью формул логики высказываний, или в виде суперпозиции (взаимной подстановки) булевских функций одной и/или двух переменных.