Легко проверить, что для определенных таким образом констант и операций выполняются все свойства булевой алгебры.
В самом деле:
коммутативность min и max:
min (x,y)=min(y,x), max (x,y)=max(y,x);
ассоциативность min и max:
min (x, min (y,z)) =min (min (x, y),z),
max (x, max (y,z)) =max (max (x, y),z);
дистрибутивность min относительно max:
min (x, max(y,z)) = max(min(x,y),min(x,z)),
max (x, min(y,z)) = min(max(x,y),max(x,z));
идемпотентность min и max:
min(x,x)=x, max(x,x)=x;
свойства констант 0 и 1:
min(x,0)=0, min(x,1)=x, max(x,0)=x, max(x,1)=1.
Рекомендация: Проверьте (хотя бы на примерах) справедливость этих соотношений
[1])Кроме этих значений часто используются обозначения: T (true – истина) и F (false – ложь), а также 1 и 0.
[2])F и Ф называют в этом случае подформулами формулы логики высказываний.
[3]) Естественно, логикой высказываний не исчерпывается все многообразие логических рассуждений. Кроме логики высказываний, важное значение имеют логика предикатов, модальная логика, нормативная логика, временная логика, многозначная логика, нечеткая логика и т.д.
[4]) Как такое утверждение В найти или построить - это и есть часть доказательства, зачастую носящая эвристический, то есть поисковый, характер и относится к содержанию математической дисциплины, теорема из которой доказывается. Для нас важна форма доказательства, то есть, его структура.
[5]) Как известно, формула А~В эквивалентна конъюнкции (AÉB)&(BÉA).
[6]) См. книгу: Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. –М.:Наука, 1966. –120 с.
[7]) Заинтересованному читателю можем порекомендовать, например, книгу: О.А. Маслюков. Вычислительная техника и программирование. -М.:Высшая школа,1993.-208 с.
[8]) Название булевы эти алгебры получили в честь известного английского математика Джорджа Буля (1815-1864).
[9]) Более подробную информацию о булевых алгебрах можно получить в книге: И.М. Яглом. Необыкновенная алгебра. -М.: Наука, 1968. -70с.