Методы одномерной оптимизации

Метод установления границ начального отрезка локализации минимума. Метод золотого сечения. Оценивание точки минимума внутри найденного отрезка локализации. Программная реализация метода Свенна на языке C++. Текст программы нахождения точки минимума.

Министерство образования РФ

Волгоградский государственный технический университет

Контрольная работа

Методы одномерной оптимизации

Выполнил:

Группа АУЗ-362

Проверил:

Яновский Т.А.

Волгоград 2011

Метод установления границ начального отрезка локализации минимума

Представляет собой процедуру эвристического типа, предваряющую использование метода одномерного поиска, которому требуется начальный отрезок локализации минимума.

Алгоритм Свенна.

Шаг 1. Выбрать произвольную начальную точку и – начальный положительный шаг.

Шаг 2. Вычислить

Шаг 3. Сравнить :

а) если то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать правее, чем точка . Положить , , k=2 и перейти на шаг 5.

б) если , то вычислить .

Шаг 4. Сравнить :

а) если , то точка минимума лежит между точками и , которые и образуют границы начального отрезка локализации минимума. Положить и завершить поиск.

б) если то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать левее, чем точка . Положить , k=2 и перейти на шаг 5.

Шаг 5. Вычислить .

Шаг 6. Сравнить :

а) если , то

при положить

при положить

и завершить поиск.

б) если , то

при положить

при положить

положить k=k+1 и перейти на шаг 5.

Метод золотого сечения

Необходимо задать начальный отрезок локализации минимума и число , характеризующее желаемую точность вычисления x * .

Шаг 1. Вычислить .

Шаг 2. Найти пробные точки и .

Шаг 3. Вычислить значения функции в пробных точках и .

Шаг 4. Сравнить и :

а) если , то положить .

б) если , положить .

Шаг 5. Вычислить . Если , то положить и закончить поиск, иначе перейти к шагу 3.

Замечание: Данный алгоритм является несколько более медленно сходящимся по сравнению с алгоритмом, точно соответствующим методу “золотого сечения”, из-за того, что на каждой итерации он требует двух вычислений функции f (x ) вместо одного. Однако это делает его более точным, так как при оперировании только с одной новой точкой ошибки округления могут привести к потере интервала, содержащего минимум.

Задание.

1.Самостоятельно найти в литературе по “Методам оптимизации” определение унимодальной функции и разобраться с его смыслом. Это важно, так как вычислительный процесс в любом методе одномерной оптимизации опирается на предположение об унимодальности .

2. Программно реализовать на языке C++ метод Свенна

(Программа должна обеспечить вывод на экран

- начальной точки и шага

на каждой итерации метода:

- номера итерации,

- генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней;

а на последней итерации

- отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.

Метод оценивания точки минимума внутри найденного отрезка локализации минимума

(Программа должна обеспечить на каждой итерации метода вывод на экран:

- номера итерации,

- границ текущего отрезка [a, b],

- внутренних точек и значений функции в них, а затем

- финальной оценки x* точки минимума функции f(x)

- соответствующего точке x* значения функции f(x*)).

3. С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации

- f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10

- f(x) = 2x2 +(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2

- f(x) = (127/4)x2 -(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1

4.Составить отчет, содержащий:

- Титульный лист с указанием учебной дисциплины, номера и названия задания, ФИО выполнившего работу студента;

- Полностью текст задания, приведенный несколькими строками выше;

- Определение унимодальности;

- Алгоритмы;

- Текст программы на С++;

- Подробное решение одной из предложенных задач – то, что выводит программа при ее решении на каждой итерации;

- Сводную таблицу результатов решения задач, содержащую информацию о тестовой функции, начальных данных задачи и параметрах программы и результаты решения задачи(оценку точки минимума, значение функции в ней, число итераций).

Задание№1

Программно реализовать на языке C++ метод Свенна

(Программа должна обеспечить вывод на экран

- начальной точки и шага на каждой итерации метода:

- номера итерации,

- генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней; а на последней итерации отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.

С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации

- f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10

- f(x) = 2x2 +(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2

- f(x) = (127/4)x2 -(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1

Текст программы на С++

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iomanip.h>

using namespace std;

double f(double ) ;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double t,ll,e,l,xk,yk,a,b;

double x,delta,xp,x1,x2,k=0,y;

int p=0;

cout<<"enter x* ";

cin>>x ;

cout<<"enter t ";

cin>>t;

x1=x-t;

x2=x+t;

if ((f(x-t) >=f(x)) && (f(x+t) >=f(x)))

{

a=x-t;

b=x+t;

p=1;

};

if ((f(x-t) <=f(x)) && (f(x+t) <=f(x)))

{

p=1;

};

xp=x;

if ((f(x-t) >f(x)) && (f(x) >f(x+t)))

{

delta=t;

a=x ;

x=x+t;

}

if ((f(x-t) < f(x)) && (f(x) < f(x+t)))

{

delta=-t;

b=x ;

x=x-t;

}

while ((p!=1))

{

if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t >0))

a=xp;

if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t <0))

b=xp;

if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t >0))

{

b=x;

p=1;

};

if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t<0))

{

a=x;

p=1;

};

k++;

cout<< " Номер итерации "<<k<<endl;

cout<< " Ганицы отрезка a="<<a<<" b="<<b<<endl;

xp=x;

x=xp+pow(2.0,k-1)*delta;

}

cout << " a= "<<a<< " b= "<< b<<endl; cout<< " Количество итераций = " << k<< endl;

system("pause");

return 0;

}

double f(double x)

{

double y;

y=x*x-12*x;

return (y);

}

Решение задачи

Функция f(x) = x2 -12xнач. точка x0 = 1 шаг 1

Номер итерации 1

Начальная точка 1

X1 = a = 1

F(x) = -11

Номер итерации 2

Начальная точка 1

Шаг 1

X2 = a= 2

F(x) = -20

Номер итерации 3

Начальная точка 2

Шаг 2

X3 = a = 4

F(x) = -32

Номер итерации 4

Начальная точка 4

Шаг 4

X4 = b = 8

F(x) = -32

Отрезок [a;b] =[2;8] Число итераций = 4

Сводная таблица результатов№1

f ( x ) = x 2 -12 x

Начальная

точка

Шаг Отрезок Число итераций
1 1 [2;8] 4
1 10 [-9;11] 3
3 1 [4;11] 4
3 10 [-7;13] 3
0 1 [2;16] 5
0 10 [0;30] 3
10 1 [2;8] 4
10 10 [0;20] 3

Сводная таблица результатов№2

f(x) = 2x2 +(16/x)

Начальная

точка

Шаг Отрезок Число итераций
1.6 1 [0.6;2.6] 3
1.6 2 [-0.4;3.6] 3
2 1 [1;3] 3
2 2 [0;2] 3
0.1 1 [-0.9;2.1] 3
0.1 2 [-1.9;4.1] 3
10 1 [-5;9] 4
10 2 [-4;8] 3

Сводная таблица результатов№3

f(x) = (127/4)x2 -(61/4)x+2

Начальная

точка

Шаг Отрезок Число итераций
0 0.5 [-0.5;0.5] 2
0 1 [-1;1] 2
1 0.5 [-1;0.5] 3
1 1 [-1;1] 2
2 0.5 [-2;1] 4
2 1 [-2;1] 3
-10 0.5 [-6;6] 6
-10 1 [-6;6] 5
10 0.5 [-6;6] 6
10 1 [-6;6] 5

Задание 2

Найти точки минимума внутри найденного отрезка локализации минимума методом золотого сечения.

(Программа должна обеспечить на каждой итерации метода вывод на экран:

- номера итерации,

- границ текущего отрезка [a, b],

- внутренних точек и значений функции в них,

а затем

- финальной оценки x* точки минимума функции f(x)

- соответствующего точке x* значения функции f(x*)).

Текст программы на С++

# include < iostream . h >

#include <iomanip.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <stdlib.h>

double function ( double ); // вычисляет значение функции в данной точке

void main (void)

{

double a, b, E, F1, F2, LM, x = 0, fc, fd, fx, i = 0, c = 0, d = 0; // Определение переменных

clrscr ();

cout << "Введите границы начального отрезка:" << endl << " a 0 = ";

cin >> a;

cout << "b0 = ";

cin >> b;

cout << "Введите число Е:" << endl << " E = ";

cin >> E ;

clrscr ();

cout << "Границы начальнога отрезка:"<< endl <<"а[" << i << "] = " << a << endl ;

cout << "b[" << i << "] = " << b << endl;

cout << "Число Е = " << E << endl;

F1 = (3 - sqrt(5))*0.5;

F2 = 1 - F1;

do

{

LM = b - a;

cout << endl << "Номер итерации " << i + 1 << endl;

cout << "Границы текущего отрезка:" << endl << "а[" << i << "] = " << a << endl ;

cout << "b[" << i << "] = " << b << endl;

if (LM <= E)

{

x = (a + b)*0.5;

fx = function(x);

cout << "Точка минимума x = " << setprecision(10) << x << endl;

cout << "Значение функции F ( x ) в точке минимума = " << setprecision (10) << fx << endl ;

cout << "Press any key";

getch();

exit(0);

}

else

{

c = a + F1 * LM;

d = a + F2 * LM;

fc = function(c);

fd = function(d);

cout << "Значение внутренней точки с[" << i << "] = " << setprecision (10) << c << endl ;

cout << "Значение внутренней точки d [" << i << "] = " << setprecision (10) << d << endl ;

cout << "Значение функции F ( x ) в точке с[" << i << "] = " << setprecision (10) << fc << endl ;

cout << "Значение функции F ( x ) в точке d [" << i << "] = " << setprecision (10) << fd << endl ;

}

if (fc == fd)

{

a = c;

b = d;

x = (a + b)*0.5;

fx = function(x);

cout << "Точка минимума x = " << setprecision(10) << x << endl;

cout << "Значение функции F ( x ) в точке минимума = " << setprecision (10) << fx << endl ;

cout << "Press any key";

getch();

exit(0);

}

else

{

if (fc < fd)

{

a = a;

b = d;

i++;

}

else

{

a = c;

b = b;

i++;

}

}

}

while (1);

}

double function (double x)

{

double y;

y = x * x - 12 * x;

return ( y );

}

Решение задачи

Функция f(x) = x2 -12x

Границы начального отрезка:

а[0] = -9

b[0] = 11

Число Е = 0.1

Номер итерации 1

Границы текущего отрезка:

а[0] = -9

b[0] = 11

Значение внутренней точки с[0] = -1.36

Значение внутренней точки d[0] = 3.36

Значение функции F(x) в точке с[0] = 18.17

Значение функции F(x) в точке d[0] = -29.03

Номер итерации 2

Границы текущего отрезка:

а[1] = -1.36

b[1] = 11

Значение внутренней точки с[1] = 3.36

Значение внутренней точки d[1] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[1] = -29.03

Значение функции F(x) в точке d[1] = -35.92

Номер итерации 3

Границы текущего отрезка:

а[2] = 3.36

b[2] = 11

Значение внутренней точки с[2] = 6.27

Значение внутренней точки d[2] = 8.08

Значение функции F(x) в точке с[2] = -35.92

Значение функции F(x) в точке d[2] = -31.66

Номер итерации 4

Границы текущего отрезка:

а[3] = 3.36

b[3] = 8.08

Значение внутренней точки с[3] = 5.16

Значение внутренней точки d[3] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[3] = -35.3

Значение функции F(x) в точке d[3] = -35.92

Номер итерации 5

Границы текущего отрезка:

а[4] = 5.16

b[4] = 8.08

Значение внутренней точки с[4] = 6.27

Значение внутренней точки d[4] = 6.96

Значение функции F(x) в точке с[4] = -35.92

Значение функции F(x) в точке d[4] = -35.06

Номер итерации 6

Границы текущего отрезка:

а[5] = 5.16

b[5] = 6.96

Значение внутренней точки с[5] = 5.85

Значение внутренней точки d[5] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[5] = -35.97

Значение функции F(x) в точке d[5] = -35.92

Номер итерации 7

Границы текущего отрезка:

а[6] = 5.16

b[6] = 6.27

Значение внутренней точки с[6] = 5.58

Значение внутренней точки d[6] = 5.85

Значение функции F(x) в точке с[6] = -35.83

Значение функции F(x) в точке d[6] = -35.97

Номер итерации 8

Границы текущего отрезка:

а[7] = 5.58

b[7] = 6.27

Значение внутренней точки с[7] = 5.85

Значение внутренней точки d[7] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[7] = -35.97

Значение функции F(x) в точке d[7] = -35.99

Номер итерации 9

Границы текущего отрезка:

а[8] = 5.85

b[8] = 6.27

Значение внутренней точки с[8] = 6.01

Значение внутренней точки d[8] = 6.11

Значение функции F(x) в точке с[8] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[8] = -35.986

Номер итерации 10

Границы текущего отрезка:

а[9] = 5.85

b[9] = 6.11

Значение внутренней точки с[9] = 5.95

Значение внутренней точки d[9] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[9] = -35.997

Значение функции F(x) в точке d[9] = -35.999

Номер итерации 11

Границы текущего отрезка:

а[10] = 5.95

b[10] = 6.11

Значение внутренней точки с[10] = 6.01

Значение внутренней точки d[10] = 6.05

Значение функции F(x) в точке с[10] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[10] = -35.997

Номер итерации 12

Границы текущего отрезка:

а[11] = 5.95

b[11] = 6.05

Значение внутренней точки с[11] = 5.99

Значение внутренней точки d[11] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[11] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[11] = -35.999

Номер итерации 13

Границы текущего отрезка:

а[12] = 5.95

b[12] = 6.01

Точка минимума x = 5.981

Значение функции F(x) в точке минимума = -35.999999

f(x) = x2 -12x
отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.1 [2;8] 6.003 -35.999999 10
[-9;11] 5.981 -35.999999 13
[4;11] 5.996 -35.999999 10
[-7;13] 6.018 -35.999966 13
[2;16] 6.006 -35.999957 12
[0;30] 6.002 -35.999997 13
[2;8] 6.003 -35.999999 10
[0;20] 6.005 -35.999965 13
f(x) = 2x2 +(16/x)
отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.01 [0.6;2.6] 1.5875 15.119055 13
[-0.4;3.6] 1.5820 15.119055 15
[1;3] 1.5861 15.119055 14
[0;2] 1.5874 15.119052 13
[-0.9;2.1] 1.5880 15.119050 13
[-1.9;4.1] 1.5864 15.119057 15
[-5;9] 1.5862 15.119061 17
[-4;8] 1.5866 15.119055 16
f(x) = (127/4)x2 - (61/4)x+2
Отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.001 [-0.5;0.5] 0.2418 0.18548 16
[-1;1] 0.2418 0.18548 17
[-1;0.5] 0.2420 0.18548 17
[-1;1] 0.2418 0.18548 17
[-2;1] 0.2420 0.18548 18
[-2;1] 0.2420 0.18548 18
[-6;6] 0.2418 0.18548 21
[-6;6] 0.2418 0.18548 21
[-6;6] 0.2418 0.18548 21
[-6;6] 0.2418 0.18548 21