Вещественные числа. Способы представления и хранения в ЭВМ

Понятие и свойства вещественного числа. Изучение основных типов данных с плавающей точкой, принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ. Наработка навыков обращения с вещественными числами на компьютере (запись, считывание, хранение).

Контрольная работа

«Вещественные числа: способы представления и хранения в ЭВМ»

Рязань, 2006 г.

1. Цель работы

1. Изучение основных типов данных с плавающей точкой, принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ.

2. Наработка практических навыков обращения с вещественными числами на компьютере (запись, считывание, хранение).

2. Теоретическая часть

2.1 Вещественные числа

Вещественные числа (REAL) – числа, имеющие дробную часть. Для их представления в компьютере используется так называемое представление с плавающей точкой (ПТ), основанное на алгебраической записи чисел в виде:

X = ±Mx q±Пх

плавающий вещественный число компьютер

где q – основание системы счисления;

Пх – порядок числа (целое);

Мх – мантисса (значащая часть числа), обычно представляется дробью:

Mx= ±0.d1 d2 … dn .

Условие di ≠0 является характерным признаком нормализованного числа в ФПТ. Нормализованное представление используется для однозначной записи вещественных чисел. Для нормализованной двоичной мантиссы (q=2) диапазон определяется неравенством 2-1 ≤ |Мх| <1. Знак числа определяется знаком мантиссы.

Мантисса числа X в общем виде записывается соответственно как

а) Мх =.d0 d1 d2 d3 d4 , где di {0,1};

б) Мх = d0 .d1 d2 d3 d4 , где di {0,1}.

Разряд d0 в нормализованных числах всегда равен «1» и в памяти компьютера не хранится («скрытый бит»). Таким образом, мантисса, хранящаяся в памяти компьютера всегда число дробное. (Рис. 1)

d1 d2 d3 d4…

↑ ↑

«скрытый» бит место точки

Рис. 1. Представление n-разрядной мантиссы


Форма представления чисел с ПТ позволяет значительно увеличить диапазон и точность представления чисел при той же длине разрядной сетки что и для чисел с ФТ.

2.2 Представление в памяти

Вещественные числа в отличие от целых представляются и хранятся в памяти в прямом коде, их представление стандартизовано. Согласно стандарту IEЕЕ – 754 для ПК IBМ PC вводят три машинных формата:

– одинарной точности (4 байта);

– двойной точности (8 байт);

– расширенной точности (10 байт).

Некоторые фирмы разработчики ПО используют нестандартные форматы (в компиляторе языка Pascal фирмы Borland используется формат длиной б байтов).

Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате

Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате имеет четыре поля используется в старых ЭВМ.

Задание 1. Считать из памяти (найти Х10 ) число, представленное в классическом двоичном формате.

X= -0.10100*2-3 = -19/32*2-3 = -19/256.

Задание 2 Х= +7 представить в классическом двоичном формате (n=5, m=3). X= +7 = 111.1012 = 0.111101*2+3

0 11110 0 0112

2.3 Машинные форматы вещественных данных

В различных алгоритмических языках принятые стандарты описываются разными ключевыми словами.

В языке Turbo-Pascal определены следующие типы вещественных чисел: single, Real, double, extended и comp.

Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal приведены в таблице 1.

Таблица 1. Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal

Название типа Длина в байтах Мантисса (десятичных значащих цифр) Диапазон десятичного порядка
single 4 7… 8 -45..+38
real б 11…12 -39..+38
double 8 15…16 -324..+308

Во всех типах мантисса хранится в прямом коде (ПК). Порядок (или экспонента е) задается в так называемой смещенной форме. Смещение выбирается так, чтобы характеристика была целым положительным числом (тогда знак характеристики хранить не требуется).

Смещение для типа real =129, для типа single =127, для типа double =1023.

Смещенный порядок (характеристика Е) равен истинному порядку П, увеличенному на величину смещения, т.е. Е=П+смещение.

Если 0<Е<255, то значение числа X определяется по правилу:

дляформат single: X = f (S, E, M) = (-l)S -2(E -l27) (1.M);

дляформата real: X = f (S, M, E) = (-l)S -2(E -l29) (1.M), где S=0 или 1.

2.4 Внутреннее представление вещественных данных

Формат Single (4 байта)

31 30 23 22 0

S E (8 бит) M(23 бита)

если 0<E<255, то (-1)s *2( E -127) *(1.M)

если E=0 и M≠255, то (-1)s *2( E -127) *(1.M)

1. X= f (S, E, M) = если E=0 и M=0, то (-1)s *0

если E=255 и M=0, то (-1)s *∞

если E=255 и M≠0, то X-нечисло (NAN, Not-a-Number).

Формат real (6 байт)

47 46 8 7 0

S M (39 бит) Е (8 бит)

0, если е=0

Х = f(S, M, E) =

(-1)S *2( E -129) *(1.М), если 0<Е<255

Формат double (8 байтов)

63 62 52 51 0

S E (11 бит) M(52 бита)

Х = (-1)s *2( E -01023) *(1.M).

3. Практическая часть

Считывание вещественных чисел из памяти ЭВМ.

Регистрация:

– выбрать пункт меню «Информатика»;

– в появившемся подменю выбрать пункт GR440;

– после появления приглашения D:\INFORM\GR440 запустить рабочую среду, набрав на клавиатуре Lab6 и нажав [Enter].

Задание 1. Число -23 представить в ФПТ в форматах single, real и double и разместить в памяти ПК, начиная с адреса ds: OOCOh. Результаты преобразования и перехода от значения числа к представлению его в памяти занести в таблицу 2.

Таблица 2. Переход от X10 к отображению в памяти

Число Алгебраическая запись Формат 16-ричное представление числа Адрес Отображение в памяти
-23 -1.0111*2+4 single С1 B8 00 00 ds:00C0h 00 00 B8 C1
-23 -1.0111*2+4 real B800 00 00 00 85 ds:00C8h 85 00 00 00 00 B8
-23 -1.0111*2+4 double C0 37 00 00 00 00 00 00 ds:00D0h 00 00 00 00 00 00 37 C0

Комментарии к таблице 2:

Х=-23=-1.01112 =-1.0111*2+4

В формате single:

порядок Е=4+127=131=83h=100000112

SgEM

Х: 1 10000011 01110000000000000000000

Х: 1100 0001 1011 1000 0000 0000 0000 0000

Х: C1 B8 0 0 0 0

Число Х=-23 в формате single в 16-ричной СС представляется как Х:С1В80000h и отображается в памяти в обратном порядке Х:00 00 В8 С1.

В формате real:

порядок Е=4+129=133=85h=100001012

SgME

Х: 1 011100000000000000000000000000000000000 10000101

Х: 1011 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0101

Х: B8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 5

Число Х=-23 в формате real в 16-ричной СС представляется как Х:В80000000085h и отображается в памяти в обратном порядке Х:85 00 00 00 00 В8.

В формате double:

порядок E=4+1023=1027=403h=100000000112

SgEM

Х: 1 10000000011 0111000000000000000000000000000000000000000000000000

Х: 1100 0000 0011 0111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Х: C0 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Число Х=-23 в формате double в 16-ричной СС представляется как Х:С037000000000000h и отображается в памяти в обратном порядке Х:00 00 00 00 00 00 37 С0.

Задание 2. По адресам ds:2h, ds:2ah, ds:66h считать из памяти числа, в режиме отображения byte, представленные в форматах single, real и double, и найти их десятичный эквивалент. Результаты представить в виде таблицы 3.

Вариант 8 (адреса: ds :1 Eh , ds :54 h , ds :9 Eh )

Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:1Eh:

– Ctrl+G;

– В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:1Eh и нажать <Enter>;

Установить режим отображения byte, после чего нажать <Enter>;

– ALT+F10;

– Переместите курсор на пункт Displayas и нажмите <Enter>;

– Выберите требуемый режим отображения (byte) и нажмите <Enter>;

– Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 2.

Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:54h:

– Ctrl+G;

– В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:54h и нажать <Enter>;

– Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 2.

Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:9Eh:

– Ctrl+G;

– В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:9Eh и нажать <Enter>;

– Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 3.

Таблица 3. Переход от отображения в памяти к Х10

Адрес Формат
ds:0002h single
ds:002аh real
ds:0066h double

Список литературы

1. Информатика, ч.I: Методические указания к лабораторным работам / Сост. Н.И. Иопа. – Рязань: РГРТА 2002.

2. Информатика. Базовый курс / С.В. Симонович и др. СПб.: Питер, 2001, с. 114–120.

3. Шафрин Ю.А. Информационные технологии. М.: Лаборатория Базовых знаний, 1998, с. 164–179.