регистрация / вход

Інженерні розрахунки в MathCad

Розв’язання системи лінійних та нелінійних рівнянь у програмі MathCAD. Матричний метод розв'язання системи рівнянь. Користування панеллю інструментів Математика (Math) для реалізації розрахунків в системі MathCAD. Обчислення ітераційним методом.

Вступ

Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".

Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.

Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.

Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.

Завдання

Завдання 1.

Задана система трьох лінійних рівнянь.

Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.

Розв’язання:

Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою

X=A-1 ×B,

деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,

А-1 - обернена матриця до матриці А,

B - вектор вільних членів,

X - вектор розв'язків системи.

Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика (Math):

яка визивається командою View ® Toolbars ® Math :

mathcad інженерний розрахунок рівняння

Кнопками панелі Математика необхідно визвати панелі:

Калькулятор (кнопкою ):

Матриця ( кнопкою ):

А потім виконати наступні дії:

1. Створимо матрицю А:

Пояснення до виконуваних дій:

Використавши кнопку панелі Matrix:

Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи:

2. Створюємо вектор В:

Задаємо 4 рядки 1 стовпець:

Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи:

3. Обраховуємо вектор Х:

Знак присвоєння: = вибираємо на панелі Calculator , обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки на панелі Matrix .

4. Виводимо результат розрахунків:

Результати рішення системи:

x = 0.091

y = - 0.243

z = - 0,601

t = 0.210

5. Робимо перевірку:

Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В.

Завдання 2

Знайти корінь нелінійного рівняння x3 + sin (x - 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001

Розв’язання:

Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x) = 0.

Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:

1 етап - відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x), на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f (x ). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХ і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.

2 етап - уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e.

1 етап. Графічне відділення коренів рівняння.

Побудуємо графік функції f (x) = x3 + sin (x - 3) +1.

Опишемо функцію в видіфункції користувача :

Вставимо в документ графічну область командою Insert ® Graph ® XY- Plot :

Маркери (-) отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x):

Відформатуємо графік командою F ormat ® Graph ® XY-Plot :

Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):

Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1

2 етап - уточнення кореня до точністі e =0.0001.

Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root ( f ( x), x ).

Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:

точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;

початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).

Порядок дій:

TOL: =0.0001

Пояснення:

TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD.

x: = - 1

Початкова умова, знайдена із графіка.

x: = root (f (x), x)

x= - 1.2361

Застосування функції root для уточнення кореня.

Вивід значенння уточненого кореня х .

В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність e потребує 4 знаки, необхідно командою F ormat ®Result … в вікні ResultFormatзадати необхідне число знаків:

Отже корінь рівняння х = - 1,2361.

Завдання 3

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0

y2 - x2 +x = 0

с точністю e=0.00001.

Розв’язання:

Відомо, що розв’язком системи є такі значення х і у , які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.

Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х і у .

Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.

Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:

y= f1 ( x)

y= f2 ( x),

тобто в нашому випадку:

.

Після цього побудувати графіки функцій:

.

Порядок дій: Пояснення:

Описуємо дві функції користувача

Функції asin , sin і Öвибрати з панелі Calculator.
Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x)

Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h .

Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину.

Із графіка приблизно знайти значення:

х =1,2 і у = 0,4

координати точки перетинання графіків

Задаємо початкові значення розвязку:

x: =1.2 y: = 0.4

Задаємо початкові значення для х і у .
Задаємо точність обчислень

Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.

Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою G iven , а закривається функцією Find . В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі

.

Вектору R присвоюється рішення системи.

Отже х = 1,1413 і у = 0,4015.

Проводимо перевірку розв’язку:

Перевірка розв’язку:

Замість х і у підставляємо в рівняння R 0 і R1 , які являються елементами вектора R ( нумерація елементів починається з нуля).

Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння.

Література

1. Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.

2. Дьяконов В. MATHCAD8/2000: специальный справочник - СПБ: Питер, 2001. - 592 с.

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий