Інженерні розрахунки в MathCad (стр. 1 из 2)
Вступ
Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".
Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.
Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.
Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.
Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.
Завдання
Завдання 1.
Задана система трьох лінійних рівнянь.
Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.
Розв’язання:
Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою
X=A-1×B,
деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,
А-1 - обернена матриця до матриці А,
B - вектор вільних членів,
X - вектор розв'язків системи.
Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика (Math):
яка визивається командою View®Toolbars®Math:
mathcad інженерний розрахунок рівняння
Кнопками панелі Математика необхідно визвати панелі:
Калькулятор (кнопкою
): 
Матриця (кнопкою
): 
А потім виконати наступні дії:1. Створимо матрицю А:  | Пояснення до виконуваних дій:Використавши кнопку  панелі Matrix:  Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи:  |
2. Створюємо вектор В:  | Задаємо 4 рядки 1 стовпець:Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи:   |
3. Обраховуємо вектор Х:  | Знак присвоєння: = вибираємо на панелі Calculator, обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки  на панелі Matrix. |
4. Виводимо результат розрахунків:  | Результати рішення системи:x = 0.091y = - 0.243z = - 0,601t = 0.210 |
5. Робимо перевірку:  | Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В. |
Завдання 2
Знайти корінь нелінійного рівняння x3 + sin (x - 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001
Розв’язання:
Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x) = 0.
Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:
1 етап - відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x), на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f (x). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХ і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.
2 етап - уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e.
1 етап. Графічне відділення коренів рівняння.
Побудуємо графік функції f (x) = x3 + sin (x - 3) +1.
Опишемо функцію в видіфункції користувача:
Вставимо в документ графічну область командою Insert®Graph®XY-Plot:
Маркери (-) отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x):
Відформатуємо графік командою Format®Graph®XY-Plot:
Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):
Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1
2 етап - уточнення кореня до точністі e =0.0001.
Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root (f (x),x).
Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:
точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;
початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).
| Порядок дій:TOL: =0.0001 | Пояснення:TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. |
| x: = - 1 | Початкова умова, знайдена із графіка. |
| x: = root (f (x), x)x= - 1.2361 | Застосування функції rootдля уточнення кореня.Вивід значенння уточненого кореня х.В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність e потребує 4 знаки, необхідно командою Format®Result… в вікні ResultFormatзадати необхідне число знаків:  Отже корінь рівняння х= - 1,2361. |
Завдання 3
Розв’язати систему нелінійних рівнянь:
sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0
y2 - x2 +x = 0
с точністю e=0.00001.
Розв’язання:
Відомо, що розв’язком системи є такі значення х і у, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.
Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х і у.
Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.
Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:
y= f1 (x)
y= f2 (x),
тобто в нашому випадку:
.Після цього побудувати графіки функцій:
. | Порядок дій: | Пояснення: |
Описуємо дві функції користувача  | Функції asin, sinі Öвибрати з панелі Calculator. |
| Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x) | |
 | Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до bз кроком h.Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і bпоки не віднайдемо точку перетину. |
 | Із графіка приблизно знайти значення:х=1,2 і у = 0,4координати точки перетинання графіків |
| Задаємо початкові значення розвязку:x: =1.2 y: = 0.4 | Задаємо початкові значення для х і у. |
 | Задаємо точність обчислень |
Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.      | Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою Given, а закривається функцією Find. В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі  .Вектору R присвоюється рішення системи.Отже х = 1,1413 і у = 0,4015. |
Проводимо перевірку розв’язку:  | Перевірка розв’язку:Замість х і у підставляємо в рівняння R0і R1, які являються елементами вектора R (нумерація елементів починається з нуля).Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння. |
Література
1. Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.