регистрация / вход

Многокритериальные задачи. Метод альтернативных решений

Разработка программного средства для поиска альтернативных решений многокритериальных задач. Проектирование программного средства с помощью объектно-ориентированного подхода. Пример листинга программного кода. Особенности работы программы на примере.

1. Постановка задачи

Необходимо разработать программное средство для поиска альтернативных решений для следующей задачи:

· многокритериальная задача

входные данные: количество критериев и решений; весовые значения, заданные напрямую, степень важности критериев, интервалы превосходства, цена перехода значения в соседний класс.

выходные данные: матрица согласия; матрица несогласия; ядро бинарного отношения.

программный альтернативный решение многокритериальный


2. Краткие теоретические сведения

Пусть задан набор числовых функций , определенных на множестве возможных решений X. В зависимости от содержания задачи выбора эти функции именуют критериями оптимальности, критериями эффективности или целевыми функциями.

Указанные выше числовые функции образуют векторный критерий , который принимает значения в пространстве m-мерных векторов . Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение именуют векторной оценкой возможного решения x. Все возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок (возможных или допустимых векторов)

Как правило, между множествами возможных решений X и соответствующим множеством векторов Y можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому возможному решению поставить в соответствие определенный возможный вектор, и обратно – каждому возможному вектору сопоставить определенное возможное решение. В таких случаях выбор во множестве решений с математической точки зрения равносилен выбору во множестве векторов и все определения и результаты можно формулировать как в терминах решений, так и в терминах векторов, причем при желании всегда можно без труда осуществить переход от одной формы изложения к другой.

Задачу выбора, которая включает множество допустимых решений X и векторный критерий f, обычно называют многокритериальной задачей или задачей многокритериальной оптимизации.

Необходимо отметить, что формирование математической модели принятия решений (т.е. построение множества X и векторного критерия f ) нередко представляет собой сложный процесс, в котором тесно взаимодействуют специалисты двух сторон. А именно, представители конкретной области знаний, к которой относится исследуемая проблема, и специалисты по принятию решений (математики). С одной стороны, следует учесть все важнейшие черты и детали реальной задачи, а с другой, – построенная модель не должна оказаться чрезмерно сложной с тем, чтобы для ее исследования и решения можно было успешно применить разработанный к настоящему времени соответствующий математический аппарат. Именно поэтому этап построения математической модели в значительной степени зависит от опыта, интуиции и искусства исследователей обеих сторон. Его невозможно отождествить с простым формальным применением уже известных, хорошо описанных алгоритмов.

Здесь следует еще добавить, что любая задача выбора (в том числе и многокритериальная) тесно связана с конкретным ЛПР (лицо, принимающее решение). Уже на стадии формирования математической модели при построении множества возможных решений и векторного критерия дело не обходится без советов, рекомендаций и указаний ЛПР, тем более что векторный критерий как раз и служит. Принятие решения при многих критериях для выражения целей ЛПР. При этом ясно, что построить модель в точности соответствующую всем реальным обстоятельствам невозможно. Модель всегда является упрощением действительности. Важно добиться, чтобы она содержала те черты и детали, которые в наибольшей степени влияют на окончательный выбор наилучшего решения.

Рассмотрим два произвольных возможных решения и . Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) справедливо соотношение (ЛПР первое решение предпочитает второму),

2) справедливо соотношение (ЛПР второе решение предпочитает первому),

3) не выполняется ни соотношение , ни соотношение (ЛПР не может отдать предпочтение ни одному из указанных двух решений).

Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения и выполняются, невозможен благодаря асимметричности отношения предпочтения

В первом из указанных выше случаев, т.е. при выполнении соотношения , говорят, что решение доминирует решение .

Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения и не сравнимы по отношению предпочтения.

3. Реализация программного средства

Среда разработки: VisualStudio2008 Язык программирования: C#

3.1 Проектирование

При проектировании программного средства будем использовать объектно-ориентированный подход. Список классов с кратким описанием:

1) Program.cs– это главное окно, служит для ввода данных, запуска работы алгоритма поиска парето-оптимальных решений, содержит методы для решения поставленной задачи.

2) Reader.cs– методы для загрузки данных из файла

3) Writer.cs– методы для сохранения данных в файл

3.2 Алгоритм поиска альтернативных решений

Шаг 1. Назначение весов. Назначаются положительные веса каждого из критериев Шаг 2. Построение индекса согласия. Для каждой пары альтернатив jи kмножество критериев разбивается на три группы:

,,

Множество включает те категории, по которым j-я альтернатива лучше k-й, множество , состоит из критериев, которым j-я альтернатива хуже k-й, а множество , состоит из тех критериев, по которым j-я и k-я альтернативы эквивалентны. Индекс согласия с тем , что альтернатива jлучше альтернативы kопределяется следующим образом:


,

Где α – параметр, α

Шаг 3. Построение списка несогласия. Для каждой пары jи kиндекс несогласия с тем, что альтернатива jлучше альтернативы kопределяется по формуле:

Где интервал превосходства k-й альтернативы над j-й по i-му критерию определяет число последовательных переходов из класса в класс, которое необходимо осуществить для того, чтобы j-й вариант стал эквивалентен k-му по i-му критерию, умноженное на цену одного деления такого перехода. При этом требуется, чтобы величины не превышали единицу

Шаг 4. Построение решающего правила. На основе чисел и , определяемы ЛПР, на множестве альтернатив строится следующее бинарное отношение: j-я альтернтива признается лучше альтернативы k, при условии того, что . Сразу можно заметить, что при указанное бинарное отношение становится аналогом бинарного отношения Слейтера, поскольку в этом случае j-я альтернатива доминирует k-ю лишь тогда, когда , т.е. для всех . При могут возникнуть другие пары альтернатив, связанные введенным бинарным отношением.

После того как бинарное отношение построено, представляется множество взаимнонедоминирующих альтернатив, на котором построенное бинарное отношение обладает НМ-свойством. Далее ЛПР выбирает окончательное решение из этого множества. Таким образом данный метод позволяет сократить число анализируемых вариантов, облегчая тем самым выбор ЛПР.

3.3 Листингпрограммногокода

public partial class Form1 : Form

{

private int countOfVariant;

private int countOfCriterion;

private double p;

private double q;

private double alfa;

private int max = 0;

private double Interval = 0;

private int count1 = 0;

private int count2 = 0;

private int row1;

private int col1;

private static int rows;

private static int cols;

private Double[,] tablesWeight;

private Double[,] tablesCriterionImportance;

private Double[,] tablesIntervalSuperiority;

private Double[,] TableOfAgreementIndex;

private Double[,] TableOfDisagreementIndex;

private String[,] TableofDecisiveRule;

// private Double[,] tablesCriterionImportance;

private double CriterionSumm = 0;

public Form1()

{

InitializeComponent();

}

// получение числа вариантов, числа критериев и параметра альфа

private void GetDate()

{

countOfVariant = (int)numericUpDown1.Value;

countOfCriterion = (int)numericUpDown2.Value;

alfa = Convert.ToDouble(comboBox1.Text);

}

// создание и заполнение таблицы весов из формы

private void createTableOfWeightFromForm()

{

tablesWeight = new double[rows, cols];

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

for (int j = 0; j < cols; j++)

{

tablesWeight[i, j] = Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[i].Cells[j].Value);

}

}

}

// создание и заполнение таблицы важности критериев, числа интервалов превосходства

//и стоимость перехода с уровня на уровень из формы

private void createTableOfCriterionImportanceFromForm()

{

tablesCriterionImportance = new double[cols, 3];

for (int i = 0; i < cols; i++)

{

tablesCriterionImportance[i, 0] = Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[i].Cells[0].Value);

CriterionSumm += tablesCriterionImportance[i, 0];

//textBox1.AppendText(CriterionSumm.ToString());

}

}

//создание таблицы интервалов превосходства из формы

private void createTableOfIntervalSuperiorityFromForm()

{

tablesIntervalSuperiority = new double[cols, (max + 1)];

for (int i = 0; i < cols; i++)

{

for (int j = 0; j < (max + 1); j++)

tablesIntervalSuperiority[i, j] = Convert.ToDouble(dataGridView6.Rows[i].Cells[j].Value);

}

}

//созданиетаблицывесовнаформе

private void CreateTableOfWeightOnForm(int row, int col)

{

int _row = row;

int _col = col;

dataGridView1.ColumnCount = _col;

dataGridView1.RowHeadersVisible = false;

dataGridView1.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView1.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView1.RowCount= _row;

}

// создание таблицы важности критериев на форме

private void CreateTableOfCriterionImportanceOnForm(int row)

{

int _row = row;

int _col = 3;

dataGridView5.ColumnCount = _col;

dataGridView5.RowHeadersVisible = false;

dataGridView5.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView5.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView5.RowCount = _row;

}

// созданиетаблицыядраизформы

private void CreateTableofDecisiveRuleFromForm()

{

TableofDecisiveRule = new string[rows, 1];

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

TableofDecisiveRule[i, 0] = dataGridView4.Rows[i].Cells[0].Value.ToString();

}

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{

GetDate();

rows = (int)countOfVariant;

cols = (int)countOfCriterion;

CreateTableOfWeightOnForm(rows, cols);

CreateTableOfCriterionImportanceOnForm(cols);

}

//добавлениеинтервалапревосходства

private void IntervalSuperiority(int row)

{

for (int i = 0; i < cols; i++)

{

if (max < Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[i].Cells[1].Value))

{

max = Convert.ToInt16(dataGridView5.Rows[i].Cells[1].Value);

}

}

int _row = row;

int _col = (max + 1);

dataGridView6.ColumnCount = _col;

dataGridView6.RowHeadersVisible = false;

dataGridView6.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView6.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView6.RowCount = _row;

}

// получение матрицы индексов согласия

private void GetTableOfAgreementIndex(int row, int col)

{

double IPlus = 0;

double IMinus = 0;

double IZero = 0;

int _row = row;

int _col = col;

dataGridView2.ColumnCount = _col;

dataGridView2.RowHeadersVisible = false;

dataGridView2.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView2.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView2.RowCount = _row;

TableOfAgreementIndex = new double[rows, rows];

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

for (int j = 0; j < rows; j++)

{

if (i == j)

{

TableOfAgreementIndex[i, j] = 0;

}

else

{

IPlus = 0;

IMinus = 0;

IZero = 0;

for(int k = 0; k < cols; k++)

{

if (Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[i].Cells[k].Value) > Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[j].Cells[k].Value))

{

IPlus += Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[k].Cells[0].Value);

}

else if (Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[i].Cells[k].Value) == Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[j].Cells[k].Value))

{

IZero += Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[k].Cells[0].Value);

}

else

{

IMinus += Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[k].Cells[0].Value);

}

}

TableOfAgreementIndex[i, j] = (IPlus + alfa * IZero) / (CriterionSumm);

}

dataGridView2.Rows[i].Cells[j].Value = TableOfAgreementIndex[i, j];

}

}

}

получениематрицыиндексовнесогласия

private void GetTableOfDisagreementIndex(int row, int col)

{

Double[,] count;

int _row = row;

int _col = col;

dataGridView3.ColumnCount = _col;

dataGridView3.RowHeadersVisible = false;

dataGridView3.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView3.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView3.RowCount = _row;

count = new double[cols, 2];

TableOfDisagreementIndex = new double[rows, rows];

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

for (int j = 0; j < rows; j++)

{

if (i == j)

{

TableOfDisagreementIndex[i, j] = 0;

}

else

{

Interval = 0;

for (int k = 0; k < cols; k++)

{

count[k, 0] = 0;

count[k, 1] = 0;

count1 = 0;

count2 = 0;

for (int m = 0; m < (Convert.ToInt32(dataGridView5.Rows[k].Cells[1].Value) + 1); m++)

{

if (Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[i].Cells[k].Value) > Convert.ToDouble(dataGridView6.Rows[k].Cells[m].Value))

{

count1 += 1;

}

else

{

count1 = count1;

}

if (Convert.ToDouble(dataGridView1.Rows[j].Cells[k].Value) > Convert.ToDouble(dataGridView6.Rows[k].Cells[m].Value))

{

count2 += 1;

}

else

{

count2 = count2;

}

/* textBox1.AppendText(" ");

textBox1.AppendText(count1.ToString());

textBox1.AppendText(" ");

textBox1.AppendText(count2.ToString());

//textBox1.AppendText(" ");

//textBox1.AppendText(dataGridView1.Rows[i].Cells[k].Value.ToString());*/

}

count[k, 0] = count1;

count[k, 1] = count2;

if (count[k, 0] < count[k, 1])

{

Interval += (count[k, 1] - count[k, 0]) * (Convert.ToDouble(dataGridView5.Rows[k].Cells[2].Value));

}

else

{

Interval = Interval;

}

TableOfDisagreementIndex[i, j] = Interval/100;

textBox1.AppendText(" ");

textBox1.AppendText(Interval.ToString());

}

}

dataGridView3.Rows[i].Cells[j].Value = TableOfDisagreementIndex[i, j];

}

}

}

получениепараметровp иq

private void GetParametrsForDecisiveRule()

{

p = Convert.ToDouble(numericUpDown3.Value);

q = Convert.ToDouble(numericUpDown4.Value);

}

//построениерешающегоправила

private void GetDecisiveRule(int row,int col)

{

bool flag = false;

int count = 0;

int countOfq = 0;

int countOfp = 0;

int _row = row;

int _col = col;

dataGridView4.ColumnCount = _col;

dataGridView4.RowHeadersVisible = false;

dataGridView4.AutoSizeRowsMode = DataGridViewAutoSizeRowsMode.AllCells;

dataGridView4.AutoSizeColumnsMode = DataGridViewAutoSizeColumnsMode.AllCells;

dataGridView4.RowCount = _row;

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

count = 0;

countOfq = 0;

countOfp = 0;

for (int j = 0; j < cols; j++)

{

count += 1;

if (i != j)

{

if (Convert.ToInt32(dataGridView3.Rows[i].Cells[j].Value) < q)

{

countOfq += 1;

if (Convert.ToInt32(dataGridView2.Rows[i].Cells[j].Value) < p)

{

countOfp += 1;

}

else

{

if ((count == cols) & (countOfp == 0))

{

flag = true;

}

}

}

else

{

if ((count == cols) & (countOfq == 0))

{

flag = true;

}

}

}

}

dataGridView4.Rows[i].Cells[0].Value = flag;

}

}

private void button2_Click(object sender, EventArgs e)

{

createTableOfCriterionImportanceFromForm();

createTableOfWeightFromForm();

GetTableOfAgreementIndex(rows, rows);

}

private void button3_Click(object sender, EventArgs e)

{

GetTableOfDisagreementIndex(rows, rows);

}

private void закрытьToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e)

{

Close();

}

private void button6_Click(object sender, EventArgs e)

{

IntervalSuperiority(cols);

}

private void button5_Click(object sender, EventArgs e)

{

GetDecisiveRule(rows, 1);

CreateTableofDecisiveRuleFromForm();

}

private void button4_Click(object sender, EventArgs e)

{

GetParametrsForDecisiveRule();

}

//загрузкатаблицывесов

private void button8_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

if (openFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

openFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

openFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

FN = openFileDialog1.FileName;

Reader My = new Reader(FN);

My.ReadTable(out tablesWeight, out rows, out cols);

alfa = Convert.ToDouble(comboBox1.Text);

CreateTableOfWeightOnForm(rows, cols);

for (int i = 0; i < rows; i++)

{

for (int j = 0; j < cols; j++)

{

dataGridView1.Rows[i].Cells[j].Value = tablesWeight[i, j];

}

}

}

}

// сохранениетаблицывесов

private void button7_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTable(FN, tablesWeight);

}

}

// загрузкатаблицыкритериевважности

private void button9_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

if (openFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

openFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

openFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

FN = openFileDialog1.FileName;

Reader My = new Reader(FN);

My.ReadTable(out tablesCriterionImportance, out row1, out col1);

alfa = Convert.ToDouble(comboBox1.Text);

CreateTableOfCriterionImportanceOnForm(row1);

for (int i = 0; i < row1; i++)

{

for (int j = 0; j < col1; j++)

{

dataGridView5.Rows[i].Cells[j].Value = tablesCriterionImportance[i, j];

}

}

}

}

// загрузкатаблицыинтерваловпревосходства

private void button11_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

if (openFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

openFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

openFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

FN = openFileDialog1.FileName;

Reader My = new Reader(FN);

My.ReadTable(out tablesIntervalSuperiority, out row1, out col1);

alfa = Convert.ToDouble(comboBox1.Text);

IntervalSuperiority(row1);

for (int i = 0; i < row1; i++)

{

for (int j = 0; j < col1; j++)

{

dataGridView6.Rows[i].Cells[j].Value = tablesIntervalSuperiority[i, j];

}

}

}

}

//сохранениетаблицыкритериевважности

private void button10_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTable(FN, tablesCriterionImportance);

}

}

// сохранениетаблицыинтерваловпревосходства

private void button12_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTable(FN, tablesIntervalSuperiority);

}

}

// сохранениематрицыиндексовсогласия

private void button13_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTable(FN, TableOfAgreementIndex);

}

}

//сохранениематрицыиндексовнесогласия

private void button14_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTable(FN, TableOfDisagreementIndex);

}

}

//сохранениеядра

private void button15_Click(object sender, EventArgs e)

{

string FN;

saveFileDialog1.InitialDirectory = "G:\temp";

saveFileDialog1.Filter = "diag files(*.diag)|*.abs|All files|*.*";

if (saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)

{

FN = saveFileDialog1.FileName;

Writer.WriteTableOfRule(FN, TableofDecisiveRule);

}

}

}

class Reader

{

private string fileName;

private string[] inputTxt;

private double[,] matrix;

private int row;

private int col;

private System.Globalization.NumberFormatInfo numberFormat;

public Reader(string Name)

{

fileName = Name;

}

public void ReadTable(out double[,] table, out int rows, out int cols)

{

numberFormat = new System.Globalization.NumberFormatInfo();

numberFormat.CurrencyDecimalSeparator = ".";

string[] output = File.ReadAllLines(fileName);

string[] aloneString = output[0].Split(new char[] { ' ' });

//double[,] temp = new double[output.Length, aloneString.Length];

table = new double[output.Length, aloneString.Length];

rows = output.Length;

cols = aloneString.Length;

for (int i = 0; i < aloneString.Length; i++)

{

table[0, i] = double.Parse(aloneString[i], numberFormat);

}

for (int i = 1; i < output.Length; i++)

{

aloneString = output[i].Split(new char[] { ' ' });

for (int j = 0; j < aloneString.Length; j++)

{

table[i, j] = double.Parse(aloneString[j], numberFormat);

}

}

}

}

class Writer

{

private static string fileName;

private static string[] outputTxt;

private static double[,] matrix;

private static string[,] matrix1;

private static int row;

private static int col;

private static System.Globalization.NumberFormatInfo numberFormat;

public static void WriteTable(string nameFile, double[,] table)

{

Writer.fileName = nameFile;

Writer.matrix = table;

if (Writer.matrix != null)

{

row = matrix.GetLength(0);

col = matrix.GetLength(1);

outputTxt = new string[row];

for (int i = 0; i < row; i++)

{

for (int j = 0; j < col; j++)

{

outputTxt[i] += matrix[i, j].ToString();

if(j != (col - 1))

outputTxt[i] += " ";

}

}

File.WriteAllLines(nameFile, outputTxt);

}

}

public static void WriteTableOfRule(string nameFile, string[,] table)

{

Writer.fileName = nameFile;

Writer.matrix1 = table;

if (Writer.matrix1 != null)

{

row = matrix1.GetLength(0);

col = matrix1.GetLength(1);

outputTxt = new string[row];

for (int i = 0; i < row; i++)

{

for (int j = 0; j < col; j++)

{

outputTxt[i] += matrix1[i, j];

if (j != (col - 1))

outputTxt[i] += " ";

}

}

File.WriteAllLines(nameFile, outputTxt);

}

}

}

4. Примерработыпрограммы

4.1 Многокритериальная задача

1) Реализуем пример. Для этого воспользуемся уже заготовленными файлами с входными данными:

Рис

Найдем матрицу согласия:

Рис

Найдем матрицу индексов несогласия:

Рис


Найдем ядро бинарного отношения:

Рис


Выводы

В результате проделанной работы было разработано программное средство для поиска альтернативных вариантов решений для многокритериальных задач.

Данное приложение может использоваться лишь как демонстрационно-обучающее по теме «Многокритериальные задачи. Метод альтернативных решений» дисциплины «Теория принятия решений».

Используемая литература

1. А.В Лотов, И.И. Поспелова Многокритериальные задачи принятия решения Учебное пособие.– М. : МАКС Пресс, 2008. – 197 с.

Используемые программные средства

MicrosoftVisualStudio2008

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий