Наряду с основной задачей — обоснованием оптимальных решений — к области исследования операций относятся и другие задачи, такие как
— сравнительная оценка различных вариантов организации операции;
— оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов решения и заданных условий);
— исследование так называемых «узких мест», то есть элементов управляемой системы, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т. д.
Эти «вспомогательные» задачи исследования операций приобретают особую важность, когда мы рассматриваем данную операцию не изолированно, а как составной элемент целой системы операций. Так называемый «системный» подход к задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого комплекса мероприятий. Разумеется, в принципе всегда можно объединить систему операций в одну сложную операцию более «высокого порядка», но на практике это не всегда удобно (и не всегда желательно), и в ряде случаев целесообразно выделять в качестве «операций» отдельные элементы системы, а окончательное решение принимать с учетом роли и места данной операции в системе.
Итак, рассмотрим отдельную операцию О. Размышляя над организацией операции, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной. Под эффективностью операции разумеется степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.
Чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между собой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный критерий оценки или показатель эффективности (в некоторых руководствах показатель эффективности называют «целевой функцией»).
Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквойW.
Конкретный вид показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от специфики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или другой форме.
Многие операции выполняются в условиях, содержащих элемент случайности (например, операции, связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью, а также все военные операции). В этих случаях исход операции, даже организованной строго определенным образом, не может быть точно предсказан, остается случайным. Если это так, то в качестве показателя эффективности W выбирается не просто характеристика исхода операции, а ее среднее значение (математическое ожидание). Например, если задача операции — получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности берется средняя прибыль. В других случаях, когда задачей операции является осуществление вполне определенного события, в качестве показателя эффективности берут вероятность этого события (например, вероятность того, что в результате воздушного налета данная группа целей будет поражена).
Правильный выбор показателя эффективности — необходимое условие полезности исследования, применяемого для обоснования решения.
Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эффективности W выбран в соответствии с целевой направленностью операции.
Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности Показатель эффективности — прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за хозяйственный год
Пример 2 Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата одиночного самолета противника Цель операции — сбить самолет. Показатель эффективности — вероятность поражения (сбития) самолета
Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности — среднее число машин, обслуженных за день («среднее» потому, что фактическое число случайно)
Пример 4. Группа радиолокационных станций в определенном районе ведет наблюдение за воздушным пространством. Задача группы — обнаружить любой самолет, если он появится в районе Показатель эффективности — вероятность обнаружения любого самолета, появившегося в районе.
Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышению надежности электронной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Цель операции — уменьшить частоту появления неисправностей («сбоев») ЭЦВМ, или, что равносильно, увеличить средний промежуток времени между сбоями («наработку на отказ»). Показатель эффективности — среднее время безотказной работы ЭЦВМ (или среднее относительное время исправной работы).
Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве определенного вида товаров. Показатель эффективности—количество (или среднее количество) сэкономленных средств.
Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, каков бы он ни был, требовалось обратить в максимум («чем больше, тем лучше»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум («чем меньше, тем лучше»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять «вероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаружен» — этот показатель желательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эффективности можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве показателя эффективности можно выбрать среднее значение «промаха» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.
Очевидно, что случай, когда показатель эффективностиW надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в дальнейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется обратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных задач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, которые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется минимизировать.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ
Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математическую модель явления. Me составляет исключения и исследование операций. При построении математической модели явление (в нашем случае — операция) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции — показателем эффективности (или показателями, если их в данной задаче несколько).
Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее — вытекающие из него рекомендации.
Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.
Требования к модели противоречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательно— аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми.
Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая - слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка»). В сложных случаях, когда построение модели вызывает наибольшее сомнение, полезным оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Характерным для сложных задач исследования операций является также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.
Построение математической модели — наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз созданная удачная модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она первоначально создавалась. Так, например, математические модели массового обслуживания нашли широкое применение в целом ряде областей, далеких, с первого взгляда, от массового обслуживания (надежность технических устройств, организация автоматизированного производства, задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначально предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых действий и наоборот — боевые модели с успехом применяются в биологии.