Автоматическая система регулирования с П-регулятором (стр. 4 из 7)
Находим постоянную времени и время задержки:
Таким образом динамическая характеристика первого порядка с запаздыванием будет иметь вид:
Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений, причем значения функции при
учитывать не будем. Результаты сведем в табл. 8.Таблица 8
Результаты расчета
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| yi | 0 | 0 | 0.5 | 0,71 | 0,8 | 0,91 | 0,98 | 0,99 | 0,995 | 1 |
| yiанал | 0 | 0 | 0.199 | 0.565 | 0.764 | 0.872 | 0.93 | 0.962 | 0.98 | 0.989 |
 yi | 0 | 0 | 0.301 | 0.145 | 0.036 | 0.038 | 0.05 | 0.028 | 0.015 | 0.011 |
  | 0 | 0 | 0.090493 | 0.020928 | 0.001291 | 0.001448 | 0.002451 | 0.000769 | 0.00024 | 0.000124 |
Далее находим сумму квадратов отклонений:
.Так как сумма квадратов отклонений у модели с запаздыванием меньше, чем у модели без запаздывания, то ее использование позволяет более точно описывать протекание переходного процесса.
Расчет на ЭВМ моделей более высоких порядков показывает, что наименьшее значение суммы квадратов отклонений будет у модели второго порядка. Поэтому в дальнейших расчетах будем выполнять все действия именно для модели второго порядка.
Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка с запаздыванием и модели второго порядка с запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.
3. Построение математической модели
Передаточная характеристика объекта представляет собой отношение выходной величины к входной величине.
Передаточная характеристика объекта второго порядка с запаздыванием отличается от характеристики первого порядка наличием в знаменателе дроби квадрата суммы:
После подстановки известных численных значений и всех преобразований, получим:
Приведем полученное выражение к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка и построим математическую модель объекта на ЭВМ в системе MathCad.
4. Аналитическое решение
Для отыскания аналитического решения решим характеристическое уравнение:
0,931 р2 + 1,93 р + 1 = 0 (4.1)
p1 = -1,781; p2 = - 0,290 - корни характеристического уравнения.
Ввиду того, что корни характеристического уравнения кратные подставим их в выражение вида:
u(t) = kx. [1 – [1 + p. (t – τ) ] .ep(t – τ) ] (4.2)
где к – коэффициент передачи при 50% номинального режима
р – корни характеристического уравнения (4.3)
t – соответствующий момент времени
τ – время запаздывания
Подставляя соответствующие значения к, р, t, τ получим график переходного процесса в объекте.
Ввиду сложности расчеты производятся на ПЭВМ (см. распечатку)
5. Частотные характеристики
Частотные характеристики объекта связаны с его передаточной функцией следующим образом:
где к = к (50%) = 0.428- коэффициент передачи при 50%:
Т = 0.965- постоянная времени:
t = 0.715- время запаздывания.
е-τp = cos(w. t) - j . sin(w. t).
Заменив, в выражении для объекта второго порядка величину p на мнимую величину jw, получим комплексную функцию W(jw).
Преобразовав выражение (4.1) получим, что:
Обозначим в формуле (5.2) :
- Вещественная частотная
характеристика системы
- мнимая частотнаячастотная характеристика системы
Подставив R(w) и I(w) в уравнение (5.2):
W(jw) = R(w) + j .I(w)
Составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики :
где А(w) - амплитудно-частотная характеристика
L(w) - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
F(w) - фазочастотная характеристика
По формулам (5.3) - (5.5) находим значения для построения частотных характеристик. Эти значения сведены в таблицу 5.1 стр. 30.
Ниже приведен расчет частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100 точек. Также представлены графики при
следующих характеристик:- амплитудно-частотной;
- логарифмической амплитудно-частотной;
- фазо-частотной;
- амплитудно-фазо-частотной.
Расчет расширенных частотных характеристик
При расчете расширенных частотных характеристик вместо замены
производят замену 
, где m=0,221 - степень колебательности системы. Введем обозначение: 
где
Далее, аналогично обычным частотным характеристикам, задавшись рядом частот, подаваемых на вход объекта, производим расчет расширенной амплитудно-частотной характеристики по формуле:
Затем рассчитываем расширенную фазо-частотную характеристику по формуле:
.Ниже приведен расчет расширенных частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100 точек. Также представлены графики при
следующих характеристик:- расширенной амплитудно-частотной;
- расширенной амплитудно-фазо-частотной.
6. Выбор и расчет параметров настройки регуляторов
Автоматические регуляторы по своим динамическим свойствам подразделяются на линейные и нелинейные. При проектировании наиболее часто применяемых линейных регуляторов используют:
- пропорциональный регулятор (П-регулятор);
- интегральный регулятор (И-регулятор);
- пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор);
- дифференциальный регулятор (Д-регулятор);
- пропорционально-дифференциальный регулятор (ПД-регулятор);
- пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор).
Требования, предъявляемые к регулятору, обусловлены требованиями ко всей системе регулирования: в обеспечении устойчивости замкнутой системы. При проектировании систем стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, так чтобы изменение параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости. Для этой цели используются понятия запасов устойчивости систем автоматического регулирования, вводимых на основе частотного критерия Найквиста:
где 
- передаточная функция объектарегулирования;
- передаточная функция регулятора.
6.1 Расчет П-регулятора
Передаточная характеристика П-регулятора имеет вид: