Смекни!
smekni.com

Интегральные преобразования. Радиоуправление (стр. 1 из 3)

Вопрос 1.

1. Основные понятия

1. Сигнал любой формы можно разложить на синусоидальные составляющие с различными частотами, кратными целому числу. Совокупность этих составляющих называется спектром, а сумма этих составляющих формирует значение функции во временной области.

2. Разложение в ряд Фурье – это разложение периодической функции на синусоидальные составляющие с различными частотами. Периодический сигнал s(t) с периодом Т и основной угловой частотой

(
) при помощи коэффициентов Фурье можно представить в виде:

Где

и
действительные коэффициенты Фурье функции f(t), которые определяются следующим образом:

(k=0,1,2….)
(k=0,1,2….)

Если функция s(t) – четная, то

, если нечетная. То

3. В отличии от разложения в ряд Фурье с действительными коэффициентами при разложении в ряд Фурье с комплексными коэффициентами вычисления значительно упрощаются. Разложение в комплексный ряд Фурье периодического сигнала s(t) с основной угловой частотой

(
) имеет вид:

(1)

Комплексные коэфффициенты Фурье Сkсигнала s(t) вычисляются следующим образом:

(k=0,1,2….) (2)

Подставив 1.2 в 1.1 , получим:

0<t<T(3)

4. Если увеличивать количество гармоник, то точность приближения функции рядом Фурье повышается.

5. Под непрерывными кусочно-гладкими сигналами будем понимать сигнал, функция которого непрерывна в точке, причем возможно допустить устранимые разрывы первого рода. Область определения функции задается в каждом интервале, но она непрерывна (Пример: Фазоманипулированный сигнал).

Рис. 1. Разложение сигнала

2. Интегральное преобразование Фурье

Дискретное представление сигналов удобно для решения задач обработки сигналов, так как каждый сигнал может быть представлен конечным числом компонентов.

Однако в теоретических исследованиях, особенно при рассмотрении сигналов на бесконечном интервале, с отличной от периодическогозакона распределения, такое представление либо недостаточно, либо не возможно.

Но гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. При этом число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет бесконечно большим, так как при

основная частота функции
. Т.о расстояние между спектральными линиями (Рис 2) равное основной частоте
становиться бесконечно малы, а спектр – сплошным.

Рис 2.

Поэтому в выражении (1.3) можно заменить

на
,
на текущую частоту
а операцию суммирования заменить интегрированием:

(4)

Внутренний интеграл является функцией

(5)

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой. В общем случае, когда t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:

(6)

Выражение (6) называют прямое преобразование Фурье

Подставляя (6) в (4) получаем

(7)

Выражение (7) называют обратным преобразование Фурье.

3. Интегральное преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию

комплексного переменного (изображение) с функцией
действительного переменного (оригинал).

(8)

(9)

Данный спектральный метод, как и преобразование Фурье основан на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых изменяется во времени по закону

Вместо комплексных экспоненциальные сигналов с чисо мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные показатели

, где p – комплексное число

, получившее название комплексной частоты.

Изображения по Лапласу во всех точках комплексной плоскости являются аналитическими функциями. На практике применяют таблицы соответствия между оригиналами и изображениями.

3 Интегральное преобразование Гильберта

Часто радиоинженер сталкивается с радиосигналами, получаемые в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты(или фазы) по очень сложному закону.

Предполагая, что заданный сигнал

представляет собой узкополосный процесс, спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с центральной частотой
частотой.

(10)

При этом возникает неоднозначность из-за того что,

и
изменяются по различным законам.

Неоднозначности можно избежать, при представлении

и
с помощью следующих соотношений:

и
, (11)

где

новая функция, связанная с исходной соотношениями

(12)

Эти соотношения называют преобразованиями Гильберта, а функция

-функция сопряженная (по Гильберту) исходной функции

В точках, в которых

=0, кривые
и
имеют общие касательные при этом в точках, где
обращается в 0, функция
должна принимать значения, близкие к амплитудным, тогда
можно рассматривать как простейшую огибающую функции

.

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ систем обработки сигналов.