Информационный процесс в автоматизированных системах (стр. 7 из 12)

Произвольное число X в восьмеричной системе представляется в виде полинома:

,

где каждый коэффициент аi может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Например, десятичное число 83,5 в восьмеричной системе будет изображаться в виде 123,48 и в виде полинома:

Восьмеричная система счисления не нужна ЭВМ в отличие от двоичной системы. Она удобна как компактная форма записи чисел и используется программистами (например, в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов).

В восьмеричной системе счисления вес каждого разряда кратен восьми (1/8), поэтому восьмиразрядное двоичное число позволяет выразить десятичные величины в пределах 0-255, а восьмеричное охватывает диапазон 0 - 99999999.Т. к.8=23, то каждый восьмеричный символ можно представить трехбитовым двоичным числом.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число влево (для целой части) и вправо (для дробной) от точки (запятой) на группы по три разряда (триады) и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются необходимым количеством незначащих нулей.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему осуществляется путем представления каждой цифры восьмеричного числа трехразрядным двоичным числом.

3.6.4. Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Эта система отличается от рассмотренных ранее тем, что в ней общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, поэтому приходится вводить в употребление новые символы. Обычно для обозначения первых десяти целых чисел от нуля до девяти используют арабские цифры, а для следующих целых чисел от десяти до пятнадцати используются буквенные обозначения A, B, C, D, E, F.

Произвольное число X в восьмеричной системе представляется в виде полинома:

,

где каждый коэффициент аi может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F:

Шестнадцатеричная система счисления позволяет еще короче записывать многоразрядные двоичные числа и, кроме того, сокращать запись 4-разрядного двоичного числа, т.е. полубайта, поскольку 16=24. Шестнадцатеричная система так же применяется в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных чисел.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число влево и вправо от точки на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, необходимо наоборот каждую цифру этого числа заменить тетрадой.

3.6.5. Переводы чисел, простейшая арифметика в системах счисления

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

2-я с. с.	8-я с. с.	16-я с. с.

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16

При переводе числа из двоичной (8-чной, 16-ричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Пример:

Разряды 3 2 1 0 - 1

Число 1011,12=1*23+1*21+1*20+1*2-1=11,510.

Разряды 2 1 0 - 1

Число 276,58=2*82+7*81+6*80+5*8-1=190,62510.

Разряды 2 1 0

Число 1F316=1*162+15*161+3*160=49910.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой или тетрадой.

Пример:

;

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную), его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной), каждую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример:

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q нужно саму дробь, затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Двоичная с. с.	Восьмеричная с. с.	Шестнадцатеричная с. с.

Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916.

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления, но нужно пользоваться соответствующими таблицами сложения и умножения.

Сложение

Таблицы сложения составляются с помощью Правила Счета:

2-я с. с.	8-я с. с.	16-я с. с.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример: Сложим числа 15 и 6 в 2, 8, 16 системах счисления.

2-я с. с.	8-я с. с.	16-я с. с.

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

Вычитание

Пример: Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

2-я с. с.	8-я с. с.	16-я с. с.

Ответ: 201,2510–59,7510=141,510=10001101,12=215,48=8D,816.

Умножение

Двоичная система	Восьмеричная система

Пример: Перемножим числа 5 и 6.

10-я с. с.	2-я с. с.	8-я с. с.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе.

Пример. Разделим число 30 на число 6.

10-я с. с.	2-я с. с.	8-я с. с.

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

3.6.6. Как представляются в компьютере целые числа

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака. Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112, а в двубайтовом формате - от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	0...28–1	0...255
2	0...216–1	0...65535

Примеры: