регистрация /  вход

Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста (стр. 1 из 2)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РТС

РЕФЕРАТ

На тему:

"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"

МИНСК, 2008

Метод статистической линеаризации

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

, (1)

используется два критерия эквивалентности.

Рис.1.

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

; (2)

, (3)

где

─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

, (4)

где

─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию;
─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

Воспользуемся первым критерием эквивалентности:

. (5)

Из этих уравнений находим

;

,

где

─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

- коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).

По второму критерию эквивалентности:

;

;

;

;

Для определения

и
, при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:

;

;
;
.

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

;

Определив величины

;
.

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)

Рис.2. Характеристика релейного типа:

;

коэффициенты равны:

;
;
;

Метод гармонической линеаризации

Основы метода.

Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.

Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.

Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).

Рис.3. Модель нелинейной системы.

Уравнение линейной части:

,(6)

При возникновении автоколебаний процесс

на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными.

.

Пусть

;
. (7)

Представим

в виде ряда Фурье:

; (8)

Полагаем, что

.

Это справедливо, если

симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только
и

Из уравнения (7) находим:

;
. (9)

Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:

(10)

где

(11)

Таким образом, нелинейное уравнение для

заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники.

и
называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты
и
в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.

Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:

;
;

где

─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы

.

Характеристическое уравнение

.

Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!