Поняття та класифікація систем радіоавтоматики (стр. 2 из 2)

Зворотне перетворення вводиться у розгляд так:

,

що дозволяє відшукати оригінал функції x(t) по її зображенню X(p).

Існують такі методи відшукання оригіналу x(t): табличний та метод інтегрування у комплексній площині.

Глибинний сенс перетворення Лапласа полягає у тому, що за його допомогою стає можливим здійснити перехід від вихідних диференційних рівнянь, що описують систему РА у просторі комплексної змінної р

.

На рис. 4 наведено загальну структурну схему ланки системи РА, яка описується коефіцієнтом передачі R(p). На цьому рисунку G(p) та x(p) – відповідно сигнали у операторній формі на вході і виході ланки.

Рисунок 4 – Загальна структурна схема ланки системи РА з коефіцієнтом передачі R(p) у операторній формі.

Наприклад, якщо ланка є диференціатором, то R(p)=p.

Тоді

Якщо ланка є інтегратором, то

Тоді

4.4 Перетворення Фур'є

Якщо в перетворенні Лапласа замінити оператор р на змінну jw отримаємо перетворення Фур'є, яке також поділяється на пряме та зворотне.

Для прямого перетворення Фур'є маємо вираз

,

де x(jω) – спектральна функція дії x(t).

Зворотне перетворення Фур'є має вид:

.

4.5 Передатна функція

Передатною функцією N(s) елемента (системи) РА називається відношення зображення вихідної величини елемента (системи) Y(s) до зображення ) вхідної величини X(s) при нульових початкових умовах

Формально передатну функцію отримуємо з диференціального рівняння елемента (системи) РА у символічній формі шляхом заміни в ньому символу р на комплексну змінну s і розділення утвореного в такий спосіб багаточлена правої частини рівняння на многочлен лівої частини.

Наприклад, якщо диференціальне рівняння інерційного RC- елемента має вигляд.

;

звідки

.

Тоді

Тепер при виконанні заміни оператора p на комплексну змінну Sотримаємо:

У цьому виразі комплексні величини x(s) іY(s) є зображенням за Лапласом часових величин x(t) і y(t).

4.6 Перехід від передатної функції до частотної характеристики

У загальному виді передатна функція записується так:

,

де Q(s) - багаточлен у чисельнику, P(s) – багаточлен у знаменнику, к – постійний множник.

Замінимо комплексну перемінну s на комплексну частоту jw - одержимо амплітудно-фазо-частотну характеристику елемента (системи):

.

Наприклад, передатна функція послідовного з'єднання безінерційного підсилювача з коефіцієнтом підсилення к-го інерційного RС- ланцюга має вигляд

.

Замінимо s на jw:

це модуль комплексного виразу, або ж, амплітудо-частотна характеристика даного елемента;

- це аргумент комплексного виразу, або ж, фазочастотна характеристика елемента.

Запишемо W(jw) в алгебраїчній формі:

.

Тут U(w) – реальна частотна характеристика. V(w) - уявна частотна характеристика.

У випадку замкнутої системи РА передатна функція позначається через Ф(s),а амплітудно-фазо-частотна характеристика – через

,

де P(w) і Q(w) – відповідно реальна і уявна частотні характеристики замкнутої системи.

4.7 Логарифмічні частотні характеристики

У реальних автоматичних системах модуль частотної характеристики змінюється в дуже широких межах при зміні частоти. Тому графічне зображення їх у звичайному масштабі неможливо. У цих випадках зручно скористатися логарифмічними частотними характеристиками: амплітудною і фазовою.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика визначається співвідношенням

,

де L(w) – у децибелах, а частота w відкладається в декадах чи октавах. Логарифмічна фазо-частотна характеристика f(w) відображається в градусах, а частота – у декадах чи в октавах (рис.5).

Рисунок 5 – Логарифмічні амплітудно-фазо-частотні характеристики