регистрация / вход

Разработка программы определительных испытаний

Определение реального уровня надежности электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока, предназначенного для привода различных бытовых приборов. Вычисление основных характеристик выборки. Подбор подходящего закона распределения вероятностей.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тольяттинский филиал Московского государственного университета пищевых производств

Кафедра Менеджмента пищевых производств

Курсовая работа

по дисциплине «Методы и средства измерений, испытаний и контроля»

на тему «Разработка программы определительных испытаний»

Студентка группы:

Преподаватель:

Тольятти 2008


Содержание

Введение

1 Разработка программы испытаний

1.1Общие положения

1.2 Объект испытаний

1.3 Цель испытаний

1.4 Место проведения и обеспечения испытаний

1.5 Объем и методика испытаний

1.6 Обработка результатов испытаний

1.6.1 Постановка задачи

1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки

1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

1.6.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

1.6.6 Протокол испытаний

2 Пример обработки результатов испытаний для восстанавливаемого объекта испытаний

2.1 Постановка задачи

2.2 Вычисление основных характеристик выборки

2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

Заключение

Список использованных источников


Введение

Испытанием – это экспериментальное определение количественных и качественных характеристик свойств объекта как результата воздействия на него при его функционировании или моделировании.

Испытания опытных образцов, установочных и первых промышленных партий, контрольные периодические испытания серийной продукции – это основа построения всей системы разработки и постановки продукции на производство.

Постоянное повышение требований к качеству выпускаемой продукции, рост сложности современной техники, создание новых видов продукции с использованием последних достижений науки и техники определили значительное расширение видов испытаний, увеличение их сложности и трудоемкости.

Испытания являются неотъемлемой частью взаимоотношений заказчика и изготовителя продукции, предприятия-изготовителя конечной продукции и предприятий-смежников, поставщика и потребителя при внутреннем и международном товарообмене.

Все испытания по своему назначению разделяют на четыре группы: исследовательские, контрольные, сравнительные и определительные.

Целью данной курсовой работы является определение реального уровня надежности выбранного объекта испытаний – электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40, предназначенный для привода различных бытовых приборов.


1. Разработка программы испытаний

Программа испытаний – это обязательный для выполнения организационно-методический эксперимент.

Программа устанавливает цели испытаний, объект испытаний, объем и методику проводимых экспериментов, порядок, условия, место и сроки проведения испытаний, ответственность за обеспечение и проведение испытаний, ответственность за оформление протоколов и отчетов по испытаниям.

Немаловажную роль в программе испытаний играет план проведения испытаний. В плане указываются работы необходимые для проведения испытаний, изготовления образцов, приемка образцов, измерение и определение параметров образцов объекта испытаний, подготовка испытательного оборудования, оформление результатов испытаний, согласование утверждения протокола испытаний и др.

Основной задачей определительных испытаний является определение характеристик изделия или материала. Существенным является правильно сформулировать цели испытания.

Цель испытания раскрывает его назначение, которое должно отображаться в наименовании испытаний.

1.1 Общие положения

Настоящая программа испытаний составлена на основании следующих нормативно-технических документов:

- ГОСТ 27.410-87 «Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний на надежность»;

- ГОСТ 11828-86 «Машины электрические вращающиеся. Общие методы испытаний»;

- ГОСТ 10159—79 «Машины электрические вращающиеся коллекторные. Методы испытаний»

1.2 Объект испытаний

Главным признаком объекта испытаний является то, что по результатам его испытаний принимается то или иное решение, а именно его годность или выбраковывание, предъявление на следующие испытания, возможность серийного выпуска и т.д.

Объектом испытаний является электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.

Таблица 1 – Габаритные установочные и присоединительные размеры электродвигателей

Наименование параметра Тип двигателя
ДК 60 - 40 - 15 УХЛ4
1 Напряжение питания, В 220±22
2 Частота питания, Гц 50±1
3 Вращаюший момент, Нхм 0,026±0,003
4 Частота вращения, об./мин.

+3000

15000

-1500

5 Ток, А не более 0,48
6 Коэффициент полезного действия, % 45 -6,8
7 Масса двигателя, кг не более 0,35
8 Lmax, мм 90
9 L1, мм 19,5
10 L2, мм 4,5+0,5
11 d, мм 4-0,012
12 Средняя наработка до отказа, не менее, ч 100
13 Средний срок службы двигателя, не менее, лет 10

Электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40 применяется для привода кофемолок и других бытовых приборов.


1.3 Цель испытаний

Целью испытаний является определение фактических показателей надежности объекта исследования, таких как: среднее время безотказной работы T(средняя наработка до отказа), вероятность безотказной работы объекта в течение времени P(t), вероятность отказа Q(t), плотность распределения времени до отказа f(t), интенсивность отказа λ(t) в момент времениt.

1.4 Место проведения и обеспечение испытаний

Испытательный центр ОАО «ПЭМЗ», аккредитованный Федеральным агентством ​по техническому регулированию и метрологии для проведения испытаний ​с целью сертификации.

1.5 Объем и методика испытаний

Испытания проводятся по плану [NUN], согласно которому испытывают одновременно N=100 объектов, отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло N =100.

1.6 Обработка результатов испытаний

1.6.1 Постановка задачи

Требуется определить показатели надежности объекта испытаний по опытным данным определительных испытаний.

На испытания поставлено N = 100 объектов. Моменты отказов объекта испытаний представлены в таблице 2. Все объекты работают до своего отказа и после отказа не ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели надежности объекта: T , P ( t ), Q ( t ) , f ( t ) , λ( t ).

Таблица 2 Моменты отказов объектов, в часах

350 244 69 234 145 196 389 23 251 127
226 118 219 204 120 180 406 182 74 240
206 257 181 104 130 341 245 9 226 161
147 71 219 361 162 112 67 182 34 76
143 60 119 190 281 437 226 307 41 148
228 37 296 51 254 44 190 143 795 117
191 14 392 157 16 203 89 346 303 40
377 319 258 37 68 235 385 128 111 640
136 224 174 601 35 71 345 132 197 35
331 83 97 178 328 194 110 120 106 109

1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности является: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшие и наибольшие значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.

Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например А1:J10.

Значения вычисляемых характеристик будет располагаться в ячейках F12 по F19.


Таблица 3 – Расчет выборочных характеристик

A B C D E F G H I J
1 99 91 104 114 97 91 99 101 99 95
2 109 98 119 84 102 120 107 97 110 102
3 88 99 99 104 103 110 96 85 109 89
4 79 100 111 103 89 92 109 99 91 86
5 100 90 102 91 89 95 98 87 117 100
6 95 98 97 107 90 112 85 101 94 87
7 99 93 104 90 90 109 89 95 102 88
8 100 98 93 104 107 98 104 112 100 105
9 115 113 94 110 93 94 82 100 94 102
10 90 94 102 110 90 99 93 87 115 97
11
12 Выборочное среднее 98,68
13 Выборочная дисперсия 76,86626
14 Выборочное ср. квадр. отклонение 8,767341
15 Наименьшее значение 79
16 Наибольшее значение 120
17 Размах выборки 41
18 Асимметрия 0,282254
19 Эксцесс -0,38419

Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:

- выборочное среднее F12 = СРЗНАЧ (A1:J10);

- выборочная дисперсия F13 = ДИСП (A1:J10);

- выборочное среднее квадратическое отклонение

F14 = СТАНДОТКЛОН (A1:J10) или F14 = КОРЕНЬ (F13);

- Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:J10);

- Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:J10);

- Размах выборки: F17 = F16-F15;

- Асимметрия: F18 = СКОС(A1:J10);

- Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:J10).

1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Числовая ось при этом разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее – в большую сторону до «хороших» чисел хmin и хmax ;

выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству; иногда оно определяется по формуле k=[5lgn]. Если объем выборки n=100, то k=10;

находится шаг по формуле:

,

где R = хmax - хmin – длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

определяются границы частичных интервалов:

а0 = х min , а1 = а0 + h , a 2 = a 1 + h , … , ak = ak -1 + h = х max ;

в каждом интервале вычисляются средние значения

;

для каждого интервала [ai -1 ,ai ], i = 1,2, …,k находятся:

– частоты ni , т.е. число выборочных значений, попавших в интервал;

– относительные частоты ;

– накопленные частоты wi = n 1 + n 2 + … + ni ;

– накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 2) результаты группировки представим в таблице 4. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:

А22 = 100, В22 = 120, С22 = 70, D22 = B22 – C22, E22 = 10, F22 = D22/E22.

В ячейках А24:H24 укажем заголовки будущей таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить соответствующими формулами, представленными выше, для определения границ интервалов. Колонку D заполним по формуле: D30 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.

Таблица 4 – Группировка статистических данных

A B C D E F G H
n Xmax Xmin R k h
22 100 120 70 50 10 5
23
24 Группа Левая граница Правая граница Середина Частота Относ. частота Накоп. частота Накоп. относ. частота
25 1 70 75 72,5 0 0 0 0
26 2 75 80 77,5 1 0,01 1 0,01
27 3 80 85 82,5 4 0,04 5 0,05
28 4 85 90 87,5 16 0,16 21 0,21
29 5 90 95 92,5 18 0,18 39 0,39
30 6 95 100 97,5 24 0,24 63 0,63
31 7 100 105 102,5 16 0,16 79 0,79
32 8 105 110 107,5 11 0,11 90 0,9
33 9 110 115 112,5 7 0,07 97 0,97
34 10 115 120 117,5 3 0,03 100 1

Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:J10; C25:C34)}

Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.

Колонку F заполним с помощью формулы:

F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34

Колонку G заполним с помощью формулы:

G25 = E25, G26 = G25 + E26, с последующим копированием в ячейки G32:G39

Колонку H заполним с помощью формулы:

H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34

Данные, собранные в таблице 4 наглядно представим с помощью:

полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 1).

Рисунок 1 – Полигон частот

кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 2).


Рисунок 2 – Кумулята частот

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).

Определим параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2;

B9 = B2;

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2.

Таблица 5 – Значения плотностей распределения

A B C D E
1 Матем. ожидание Ср. кв. отклон.
2 98,68 8,767340682
3
4 Параметры экспоненциального распределения
5 λ 0,0101
6
7 Параметры нормального распределения
8 m 98,6800
9 σ 8,767340682
10
11 Параметры гамма-распределения
12 α 126,6842
13 β 0,7789
14
15 Середина Плотность относит. частот Плотность экспоненц. распред. Плотность нормал. распред. Плотность гамма- распред.
16 72,5000 0 0,0049 0,0005 0,0003
17 77,5000 0,002 0,0046 0,0025 0,0019
18 82,5000 0,008 0,0044 0,0083 0,0080
19 87,5000 0,032 0,0042 0,0202 0,0213
20 92,5000 0,036 0,0040 0,0355 0,0374
21 97,5000 0,048 0,0038 0,0451 0,0456
22 102,5000 0,032 0,0036 0,0414 0,0399
23 107,5000 0,022 0,0034 0,0274 0,0259
24 112,5000 0,014 0,0032 0,0131 0,0128
25 117,5000 0,006 0,0031 0,0045 0,0049

В ячейках В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.

Плотности экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:

С16 = ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);

D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);

E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).

Затем копируем их в блок ячеек С17:Е25.

После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 3- 5.

Рисунок 3 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения

Рисунок 4 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения


Рисунок 5 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Используя критерий χ2 , установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются нормальному распределению.

Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni , соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:

,

где pi – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai -1 ,ai ].

Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai ) – F(ai -1 ).

Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.

Для экспоненциального распределения:

D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А31; $B$5; ИСТИНА);

Для нормального распределения:

D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А40; $B$8; $B$9; ИСТИНА);

Для гамма-распределения:

D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А49; $B$12; $B$13$ ИСТИНА).

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:

Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:

Е38 = СУММ(E34:E39);

Е47 = СУММ(E42:E47);

Е56 = СУММ(Е50:Е55).

Которые равны соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2 выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2 кр , которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k – s – 1. где k – количество интервалов после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.

В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 2

Критическое значение рассчитывается по формуле:

Е57 = ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.

Поскольку 5,2199<9,4877, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрами α = = 98,68и σ = 8,7673 соответственно.


Таблица 6 – Подбор распределения на основе критерия χ2

А B С D E
29 Левая граница Правая граница Частота Вероятности χ²
30 Экспоненциальное распределение
31 70 85 5 0,069374468 0,5411
32 85 90 16 0,020878363 92,7028
33 90 95 18 0,019846835 129,2349
34 95 100 24 0,018866271 259,1934
35 100 105 16 0,017934153 112,5378
36 105 110 11 0,017048088 50,6805
37 110 120 10 0,031610928 14,7957
38 Сумма 659,6862
39 Нормальное распределение
40 70 85 5 0,058804812 0,1318
41 85 90 16 0,101737571 3,3365
42 90 95 18 0,176260064 0,0079
43 95 100 24 0,222500256 0,1376
44 100 105 16 0,204663183 0,9747
45 105 110 11 0,137173828 0,5383
46 110 120 10 0,090811892 0,0930
47 Сумма 5,2199
48 Гамма-распределение
49 70 85 5 0,053672643 0,0251
50 85 90 16 0,107072418 2,6163
51 90 95 18 0,185399233 0,0157
52 95 100 24 0,224931406 0,1009
53 100 105 16 0,197757868 0,7209
54 105 110 11 0,129724735 0,2999
55 110 120 10 0,090713209 0,0951
56 Сумма 3,8740
57 Критическое значение критерия 9,4877

1.6.5 Определение характеристик надежности системы

После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим характеристики надежности системы. Ббыло установлено, что случайная величина имеет плотность распределения вероятностей:

Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются вероятность безотказной работы, и вероятность отказа в течение времени t .

Данные характеристики вычисляются по формулам:

В64 = 1 - НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ИСТИНА);

С64 = 1 - В64;

Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:

D64 = НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ЛОЖЬ);

E64 = D64/B64.

Далее скопируем формулы в ячейки В64:В74, С64:С74, D64:D74, E64:E74 соответственно.

В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 7) и построены их графики (рисунки 6,7,8).

Таблица 7 – Значения показателей надежности объекта испытаний

А B C D E
63 t P(t) Q (t) f (t) λ (t)
6 4 63,611 1,000 0,000 0,000 0,000
6 5 74,000 0,998 0,002 0,001 0,001
6 6 84,000 0,953 0,047 0,011 0,012
6 7 94,000 0,703 0,297 0,039 0,056
6 8 104,000 0,272 0,728 0,038 0,139
6 9 114,000 0,040 0,960 0,010 0,245
70 124,000 0,002 0,998 0,001 0,363
71 134,000 0,000 1,000 0,000 0,485

Рисунок 6 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа

Рисунок 7 – График плотности распределения вероятности

Рисунок 8 – График интенсивности отказа

1.6.6 Протокол испытаний

ИСПЫТАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР «ПЭМЗ-электро»

аттестат № РОСС RU.0004.13ЛРН02

445030. Тольятти, ул. Свердлова 19 телефон (8482) 33-77-88 e-mail: pemz-elektro@tlt.ru

ПРОТОКОЛ ИСПЫТАНИЙ № 13

ЗАКАЗЧИК:

ОАО «Старт», 445028, г. Тольятти, ул. Революционная 72а.

ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПРОДУКЦИИ:

ООО «Электротех», г. Самара, ул. Новосадовая 3.

ВИД ИСПЫТАНИЯ:

Определение фактических показателей надежности электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИЙ:

10.09.2008 г. – 25. 12. 2008 г.

ДОГОВОР №:

По заявке от 01.09.2008 г.

ТЕКСТ: 2 стр.

ЦЕЛЬ ИСПЫТАНИЯ:

Определение реального уровня надежности у предъявляемых объектов по опытным данным определительных испытаний.

ОТБОР ОБРАЗЦОВ:

Дата отбора: 15.09.2008 г.

Место отбора: склад

Другие сведения: отбор образцов и их подготовка к испытаниям по ГОСТ Р 11828-86.

ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ:

Вид продукции: электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.

Другие сведения: средняя наработка до отказа не менее 90 ч.

МЕТОДИКА ИСПЫТАНИЙ:

Испытания проводились по плану [NUN], согласно которому испытывались одновременно 100 объектов, отказавшие во время испытаний объекты не подлежали восстановлению и не заменялись, испытания прекращались, когда число отказавших объектов достигло также 100.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ:

Значения показателей надежности объекта испытаний приведены в таблице.


t P(t) Q (t) f (t) λ (t)
63,611 1,000 0,000 0,000 0,000
74,000 0,998 0,002 0,001 0,001
84,000 0,953 0,047 0,011 0,012
94,000 0,703 0,297 0,039 0,056
104,000 0,272 0,728 0,038 0,139
114,000 0,040 0,960 0,010 0,245
124,000 0,002 0,998 0,001 0,363
134,000 0,000 1,000 0,000 0,485

Заключение: Результаты испытаний: электродвигатели соответствуют требованиям по средней продолжительности горения.

Руководитель ИЦ «ПЭМЗ-электро» Д.В. Айдаров

Руководитель группы испытаний ИЦ «ПЭМЗ-электро» А. А. Телепова


2. Пример обработки результатов испытаний для невосстанавливаемого объекта испытаний

Постановка задачи

На испытаниях находится N = 56 объектов с восстановлением. В течение периода Т = 600 часов регистрируются моменты времени отказов элементов (таблица 8). Предполагается, что отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности элементами. Требуется определить показатели надежности элемента, характеризующие время его работы между соседними отказами: Т, P ( t ), Q ( t ) , f ( t ), λ( t ).

Испытания проводятся по плану [NRT], согласно которому одновременно начинают испытания N=56 объектов, отказавшие во время испытаний объекты заменяют новыми, испытания прекращают при истечении времени испытаний или наработки T.

Обработка статистических данных предусматривает их группировку в 10 частичных интервалах (классах). Уровень значимости принять равным 0,05.

Таблица 8 – Время между отказами элементов

Номер элемента Моменты отказа на периоде времени 600 часов
1 104; 93; 107; 118; 89; 86
2 86; 98; 116; 82; 110; 103
3 106; 112; 94; 83; 98; 91
4 94; 106; 102; 107; 89; 91
5 117; 96; 103; 117; 83
6 94; 92; 107; 108; 106
7 90; 96; 84; 107; 99; 99
8 104; 106; 99; 103; 94; 82
9 99;95; 106; 119; 111
10 109; 118; 104; 95; 98

2.2 Вычисление основных характеристик выборки

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Значения вычисляемых характеристик расположим в ячейках с F12 по F19, как показано в таблице 9.

Таблица 9 – Расчет выборочных характеристик

A B C D E F
1 104 93 107 118 89 86
2 86 98 116 82 110 103
3 106 112 94 83 98 91
4 94 106 102 107 89 91
5 117 96 103 117 83
6 94 92 107 108 106
7 90 96 84 107 99 99
8 104 106 99 103 94 82
9 99 95 106 119 111
10 109 118 104 95 98
11
12 Выборочное среднее 100,0892857
13 Выборочная дисперсия 100,7373377
14 Выборочное ср. квадр. отклонение 10,03679917
15 Наименьшее значение 82
16 Наибольшее значение 119
17 Размах выборки 37
18 Асимметрия 0,012585618
19 Эксцесс -0,711512555

Вычислим числовые характеристики выборочной совокупности по формулам:

Выборочное среднее: F12 = CРЗНАЧ(A1:F10);

Выборочная дисперсия: F13 = ДИСП(A1:F10);

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

F14 = СТАНДОТКЛОН(A1:F10);

Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:F10);

Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:F10);

Размах выборки: F17 = F16-F15;

Асимметрия: F18 = СКОС(A1:F10);

Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:F10).

2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Группировка данных производится в той же последовательности, что и в пункте 1.6.2 данной работы.

Для выборочной совокупности (таблица 8) результаты группировки представим в таблице 10. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:

А22 = 56, В22 =120, С22 = 80, D22 = B22 – C22, E22 =10, F22 = D22/E22

В этой таблице колонки В и С заполним левыми и правыми границами соответственно. Колонку D заполним по формуле:

D25 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.

Таблица 10 – Группировка статистических данных

A B C D E F G H
2 1 n Xmax Xmin R k h
2 2 56 120 80 40 10 4
2 3
2 4 Группа Левая граница Правая граница Середина Частота Относ. частота Накоп. частота Накоп. относ. частота
2 5 1 80 84 82 5 0,0892 5 0,0892
2 6 2 84 88 86 2 0,0357 7 0,125
27 3 88 92 90 6 0,1071 13 0,2321
28 4 92 96 94 9 0,1607 22 0,3928
29 5 96 100 98 7 0,125 29 0,5178
30 6 100 104 102 7 0,125 36 0,6428
31 7 104 108 106 10 0,1785 46 0,8214
32 8 108 112 110 4 0,0714 50 0,8928
33 9 112 116 114 1 0,0178 51 0,9107
34 10 116 120 118 5 0,0892 56 1

Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:F10; C25:C34)}

Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.

Колонку F заполним с помощью формулы:

F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34

Колонку G заполним с помощью формулы:

G25 = E25, G26 = G25 + E26 с последующим копированием в ячейки G27:G34

Колонку H заполним с помощью формулы:

H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34

Данные, собранные в таблице 10 наглядно представим с помощью:

полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 9).

Рисунок 9 – Полигон частот

кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 10).


Рисунок 10 – Кумуляты частот

2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).

Определим параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, , , ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);

B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2;

B16 = (A2/B2)^2;

B17 = B2^2/A2.

Таблица 11 – Значения плотностей распределения

A B C D E F
1 Матем. ожидание Ср. кв. отклон.
2 100,0892 10,0367
3
4 Параметры экспоненциального распределения
5 λ 0,0100
6
7 Параметры равномерного распределения
8 а 82,7050
9 b 117,4735
10
11 Параметры нормального распределения
12 m 100,0893
13 σ 10,0367
14
15 Параметры гамма-распределения
16 α 99,4454
17 β 1,0065
18
19 Середина Плотность относит. частот Плотность экспоненц. распред. Плотность нормал. распред. Плотность гамма- распред. Плотность равномер. распред.
20 82 0,0223 0,0044 0,0078 0,0076 0
21 86 0,0089 0,0042 0,0148 0,0156 0,0287
22 90 0,0267 0,0041 0,0240 0,0257 0,0287
23 94 0,0401 0,0039 0,0331 0,0349 0,0287
24 98 0,0312 0,0038 0,0389 0,0397 0,0287
25 102 0,0312 0,0036 0,0390 0,0383 0,0287
26 106 0,0446 0,0035 0,0334 0,0317 0,0287
27 110 0,0178 0,0033 0,0244 0,0229 0,0287
28 114 0,0044 0,0032 0,0152 0,0145 0,0287
29 118 0,0223 0,0031 0,0081 0,0081 0

В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.

Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:

С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);

D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);

E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).

F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));

Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.

После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.

Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения


Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения

Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения

Используя критерий χ2 , установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni , соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:

,

где pi – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai -1 ,ai ].

Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai ) – F(ai -1 ).

Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.

Для экспоненциального распределения:

D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А35; $B$5; ИСТИНА);

Для равномерного распределения:

D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8; 0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0; ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));

Для нормального распределения:

D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А45; $B$12; $B$13; ИСТИНА);

Для гамма-распределения:

D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А55; $B$16; $B$17; ИСТИНА).

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:

Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:

Е43 = СУММ(E35:E42);

Е53 = СУММ(E45:E52);

Е63 = СУММ(Е55:Е62);

Е73 = СУММ(Е65:Е72).

Которые равны соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2 выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2 кр , которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k – s – 1.

где k – количество интервалов после объединения;

s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.

В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 5

Критическое значение рассчитывается по формуле:

Е74 = ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.

Поскольку 16,7324<16,7496, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.


Таблица 12 – Подбор распределения на основе критерия χ2

А B С D E
33 Левая граница Правая граница Частота Вероятности χ²
34 Экспоненциальное распределение
35 80 84 5 0,0176 16,3293
36 84 92 8 0,0331 20,2945
37 92 96 9 0,01562 75,4446
38 96 100 7 0,01501 45,1229
39 100 104 7 0,01442 47,4663
40 104 108 10 0,01385 109,6166
41 108 116 5 0,02611 8,5589
42 116 120 5 0,01229 27,0014
43 Сумма 349,8344
45 Нормальное распределение
46 80 84 5 0,0317 5,8201
47 84 92 8 0,1556 0,0590
48 92 96 9 0,1317 0,3576
49 96 100 7 0,1546 0,3175
50 100 104 7 0,1551 0,3280
51 104 108 10 0,1331 0,8698
52 108 116 5 0,1588 1,7057
53 116 120 5 0,03281 5,4419
54 Сумма 14,8995
55 Гамма-распределение
56 80 84 5 0,0310 6,1243
57 84 92 8 0,1652 0,1697
58 92 96 9 0,1388 0,1927
59 96 100 7 0,1576 0,3788
60 100 104 7 0,1522 0,2729
61 104 108 10 0,1265 1,1969
62 108 116 5 0,1497 1,3685
63 116 120 5 0,03281 5,4421
64 Сумма 15,1459
65 Равномерное распределение
66 80 84 5 0,03727 4,0719
67 84 92 8 0,2300 1,8522
68 92 96 9 0,1150 1,0151
69 96 100 7 0,1150 0,0482
70 100 104 7 0,1150 0,0482
71 104 108 10 0,1150 1,9643
72 108 116 5 0,2300 4,8254
73 116 120 5 0,0423 2,9070
74 Сумма 16,7324
75 Критическое значение критерия 16,74960237

2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний

После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим показатели надежности объекта.

Таким образом, было установлено, что случайная величина принадлежит множеству с плотностью распределения вероятностей:

Найдем основными показатели надежности. Они вычисляются по формулам:

В78 = ($B$6-А50)/($B$6-$B$5);

С78 = 1 – В78;

Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:

D78 = 1/($B$9-$B$8);

E78 = D78/B78.

Далее скопируем формулы в ячейки В79:В84, С79:С84, D79:D84, E79:E84 соответственно.

В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 13) и построены их графики (рисунки 14,15,16).

Таблица 13 – Значения показателей надежности объекта испытаний

А B C D E
78 82,7050 1 0 0,028761673 0,028761673
79 88 0,847708081 0,152291919 0,028761673 0,033928747
80 93 0,703899717 0,296100283 0,028761673 0,040860469
81 98 0,560091352 0,439908648 0,028761673 0,051351753
82 103 0,416282988 0,583717012 0,028761673 0,069091636
83 108 0,272474623 0,727525377 0,028761673 0,105557253
84 113 0,128666259 0,871333741 0,028761673 0,223537026
85

Рисунок 14 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа

Рисунок 15 – График плотности распределения вероятности

Рисунок 16 – График интенсивности отказа


Заключение

Поставленные перед нами цели курсовой работы по определению фактических показателей надежности невосстанавливаемого объекта испытания – электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40 – выполнены.

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий