Теория автоматического управления (стр. 2 из 2)
(13)Расчетное выражение для L(w):
(14)Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L(w) (14):
На критической частоте значение функции L(w), исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.
Из данного выражения найдем wкр
wкр=308,4185, следовательно,
Т=0,001198
Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией
обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системы
Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы:
(15)Найдем корни характеристического уравнения (15):
Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.
Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.
(16) 
(17)Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:
Таблица 4.1
| w | 0 | - | 328,8237 | ∞ |
| P | -48 | 0 | -0,485 | 0 |
| Q | 0 | - | 0 | 0 |
Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1):
Рис. 4.1
Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (
; 
) в положительном направлении на угол 
, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l=1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.
Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:
Определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):
(18) 
(19)Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:
ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.
Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):
Рис. 4.2
wср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;
wкр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;
Система устойчива, если выполняется условие:
wср< wкр
Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: Lзап= 5,8 дБ
Запас устойчивости по фазе: φзап=0,2 рад
Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.
5. Анализ качества системы в переходном режиме
Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:
, где (20) 
(21)Ф(s) – передаточная функция скорректированной замкнутой системы.
Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):
Рис. 5.1
По рисунку (5.1) определим: hmax=0.3; hуст=0.17; h(0)=0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст-h(0)).
Коридор: [0.95 (hуст-h(0)); 1.05 (hуст-h(0))].
Коридор: [0.1615; 0.1785].
Время регулирования: tрег= 0,15 с.
Перерегулирование равно:
(5.3)
.
Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:
Выделим действительную и мнимую части:
Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы:
(22)Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):
Рис. 5.2
По рисунку (5.2) определим: 
; 
.
Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:
Определим запасы устойчивости системы.
Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ(w) равняется –π.
(23) 
wкр=328,824
Рассчитаем запас по амплитуде:
(24) 
Запас по амплитуде: Lзап= 5,797 дБ
Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L(w) равняется 0, используя выражение (24):
wср=232,624
Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):
Запас по фазе: φзап=0,168 рад.
6. Анализ качества системы в установившемся режиме
Установившаяся ошибка системы равна:
(25)εустХо=С0Х0(t)+ С1Х'0(t)+…
εуст f =С0F0(t)+ С1F'0(t)+…
Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):
Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:
; 
Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.