Фильтры нижних частот (стр. 2 из 2)
Рисунок 6.
На рисунке 6 приведены графики затухания чебышевских полиномиальных ФНЧ для значений n=2 и n=5 при одинаковых Δа.
Исследование функции а(
) позволяет сделать ряд важных и интересных для практики выводов:1. При одном и том же значении Δа увеличение порядка передаточной функции приводит к увеличению крутизны характеристики затухания за пределами полосы пропускания.
2. При неизменном значении n затухание вне полосы пропускания тем больше, чем больше Δа.
3. Наименьшие (равные 0) и наибольшие (равные Δа) значения затухания чередуются в полосе пропускания. Именно поэтому аппроксимацию по Чебышеву часто называют «равноволновой».
4. Затухание фильтра в полосе задержания с увеличением частоты возрастает монотонно.
По заданным требованиям к характеристике затухания в полосе задерживания порядок ФНЧ Чебышева рассчитывается так же, как и порядок ФНЧ Баттерворта, исходя из условия а(
) 
а0.Решив данное неравенство относительно n получим:
(4).Конструирование функции Т(р) по известной |T(j
)|2 производится обычным путём. Схемы лестничной реализации будут иметь тот же вид, что и у любого другого полиномиального ФНЧ при одинаковом n.Различие будет лишь в значениях величин параметров элементов. Табулированные решения по расчёту чебышевских ФНЧ приводятся в справочной литературе.
Преимущество фильтра Чебышева состоит в том, что при одинаковом количестве элементов и при одинаковом, Δа в полосе пропускания, этот фильтр имеет большее затухание в полосе задерживания по сравнению с фильтром Баттерворта.
3. ФНЧ со всплесками затухания (ф-ры Золотарева)
Отличительной особенностью характеристик затухания полиномиального ФНЧ является их монотонное возрастание по мере удаления от полосы пропускания. Однако, если необходимо синтезировать ФНЧ со значительным уровнем гарантированного затухания а0 и при узкой полосе перехода, то применение полиномиальных конструкций приводит к неоправданно большому количеству элементов в таких случаях имеет смысл обратиться к другим передаточным функциям, в частности имеющими нули полинома, а в полосе задержания всплеск затухания, то есть к функциям вида:
(5)где
– полином Гурвица степени n; 
1, 2, ....., 
– частоты в полосе задержания, где АЧХ фильтра обращается в нуль(затухание принимает бесконечно большое значение, то есть имеет место его «всплеска»).Частотная зависимость затухания имеет вид:
(6)Среди ФНЧ, передаточная функция которых имеет вид дроби (5), наибольшее распространение получили ФНЧ с изоэкстремальными характеристиками затухания или ФНЧ Золотарёва.
Требования к характеристике затухания ФНЧ такого типа формулируется следующим образом: затухание фильтра в полосе пропускания не должно превышать заданной величины Δа, а в полосе задержания быть не менее заданной величины а0.
В подобных случаях, при аппроксимации характеристик затухания фильтра используется одна из задач наилучшего приближения функций, сформулированная и решённая Е.И. Золотарёвым (1847-1878), профессором Петербургского университета, учеником П.Л. Чебышева, а именно задача о рациональной функции порядка n, значения которой по абсолютной величине в интервале -1
1 не превышали бы единицы, а в интервале | | > 1 наименьшее по абсолютной величине её значение было бы максимально возможным.Соответствующая рациональная функция может быть названа дробью Золотарёва.
Если в выражение а = 10lg(1+A0Pn2(
)) под Pn( ) понимать дробь Золотарёва, то в соответствии со свойствами последней наименьшее значение затухания такого фильтра в полосе задержания будет максимально возможным по сравнению со всеми другими фильтрами с теми же значениями.График затухания ФНЧ с характеристиками Золотарёва, а также возможные схемы реализации приведены для случая n = 5 на рисунке 7.
Рисунок 7.
Видно, что всплески затухания расположены так, что значения минимумов в полосе задержания оказываются одинаковыми и равными.
Фильтры с характеристиками Золотарёва (или просто ФНЧ Золотарёва) называют иногда эллиптическими, поскольку значения нулей и полюсов дроби Золотарёва выражаются через эллиптические функции.
Решения, связанные с расчётом ФНЧ Золотарёва, в настоящее время табулированы и доведены до схем и значений параметров элементов (см. Л.2, стр. 292-295).
Эффективность ФНЧ Золотарёва может быть подтверждена примером, где к ФНЧ предъявляются довольно жёсткие требования.
Δа=0,01 Hп, a0=5.0 Hп,
к=1,08. 
(7)Расчёт порядка n различных фильтров, удовлетворяющий указанным требованиям, даст следующие результаты:
Число элементов равняется соответственно 7, 18, 80.
В данном примере ФНЧ Золотарёва явно оказывается вне конкуренции.
Заключение
Подробное изучение свойств различных фильтров позволяет сделать вывод, что в отдельных частных случаях при сравнительно широких полосах перехода минимальным числом элементов может обладать полиномиальный ФНЧ. Могут иметь место такие ситуации, когда по числу элементов ФНЧ Золотарёва и полиномиальный ФНЧ Чебышева оказываются одинаковыми. Тогда предпочтение отдают тому типу, который более полно удовлетворяет другим требованиям (габариты, технология изготовления и т.д.).
Литература, используемая для подготовки лекции
1. Белецкий А.Ф. «Теория линейных электрических цепей » Москва 1986 c 368-395