Фильтры нижних частот (стр. 1 из 2)
Академия
Кафедра Физики
Реферат
Фильтры нижних частот
Орёл 2009
Содержание
Вступление
1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (фильтры Баттерворта)
2. Полиномиальные ФНЧ с равно волновыми характеристиками затухания (фильтры Чебышева)
3. ФНЧ со всплесками затухания (фильтры Золотарёва)
Заключение
Литература
Вступление
В простейшем и наиболее часто используемом варианте фильтр включается между резистивными нагрузками (рисунок 1.).
Рисунок 1.
Как уже отмечалось, для формирования требования к фильтру используется рабочее затухание
где
есть нормированная (рабочая) АЧХ фильтра. Кроме нормированной АЧХ для удобства расчётов может использоваться нормирование и других величин:
- нормированная частота; 
- нормированное операторное сопротивление; 
- нормированная индуктивность; 
- нормированная ёмкость; 
- нормированное резистивное сопротивление; 
- нормированный оператор Лапласа.Здесь ω0, f0, R0 являются нормирующими величинами.
Если в результате решения задачи найдены нормированные величины, то денормирование производится по формулам:
; 
; 
; 
; 
Графики АЧХ и затухания идеальных ФНЧ показаны на рисунке 2.
Рисунок 2.
Именно эти зависимости являются исходными при аппроксимации.
1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (Баттерворта)
Полиномиальными называются ФНЧ, у которых ОПФ имеет вид:
(1)Не трудно показать, что нормированная АЧХ полиномиального фильтра определяется следующим выражением:
(2)Осуществим аппроксимацию по Тейлору АЧХ фильтра нижних частот.
При этом потребуем, чтобы в точке
=0, функция 
была равна единице, а все её │n-1│ первых производных обращались бы в нуль. В этом случае АЧХ синтезируемого фильтра будет максимально плоской.Решение аппроксимации даёт следующий результат:
An=1; A1=A2=...=An-1=0; A0>0,
то есть любое вещественное положительное число (в противном случае нарушается УФР).
Следовательно, а(
) = 10lg 
(дБ).Чрезвычайно удобно положить А0=(100,1Δа–1), где Δа - допустимая неравномерность затухания в полосе пропускания.
Так, при Δа = 3дБ получается100,1*3=100,3=2, следовательно А0=1 и формула приобретает вид:
a(
) = 10lg(1+ 
2n)нормирующая частота ω0 в таком случае выбирается из условия:
а = Δа=3дБ.
Эту частоту принято называть граничной частотой ПП фильтра. На рисунке 3 приведено семейство АЧХ
для разных значений n. 
Рисунок 3.
Из него следует, что чем выше n, тем точнее аппроксимируется характеристика идеального фильтра.
Затухание рассматриваемых фильтров:
а = 10lg(1+
2n)в полосе задерживания, где
>>1 приближенно равно а 
20nlg и возрастает со скоростью 6n дБ/октаву.(Октава – удвоение частоты).Если заданы требования к ФНЧ, то выбор порядка фильтра при Δа = 3дБ осуществляется из условия, которое следует из графика на рисунке 4.
Рисунок 4.
В случае, когда Δа
3дБ и а0 
10дБ, порядок фильтра может быть подсчитан по формуле: 
(3)Нормированная операторная передаточная функция находится для выражения:
Полиномы
, образующие определённый подкласс полиномов Гурвица, получили название полиномов Баттерворта по имени автора, предложившего максимально плоскую аппроксимацию АЧХ фильтров. Они приводятся в справочной литературе, например в [Л2], стр. 290.Реализация функции Т(р) может быть осуществлена любым из ранее рассмотренных методов. Однако для полиномиальных передаточных функций наибольшее распространение получила лестничная реализация, показанная на рисунке 5.
Рисунок 5.
Заметим, что число реактивных элементов этих схем всегда будет равно порядку передаточных функций Т(р), то есть числу n. Предпочтительное применение эти фильтры получили в случаях, когда надо уменьшить искажение формы передаваемых сигналов и не возникает необходимости в фазовом корректировании.
В настоящее время имеется большое число справочной литературы с табулированными решениями для фильтров Баттерворта, например [Л.2], стр. 291.
2. Полиномиальные ФНЧ с равноволновыми характеристиками затухания ( ф-ры Чебышева)
Пусть задана неравномерность затухания Δа, которая может быть на любой частоте полосы пропускания. Потребуем, чтобы при заданном n (числе элементов) затухания фильтра в полосе задержания, а0 было бы максимально возможным.
Решение задачи аппроксимации, соответствующей сформулированным требованиям, основано на экстремальных свойствах равномерного (чебышевского) приближения. Аналитическая запись такого решения имеет вид:
а = 10lg(1+A0Pn2(
)), 
где Рп(
)=cos(n·arccos( )) – полином Чебышева степени n.Поскольку cosa=chj
, то существует и другая форма записи полиномов Чебышева:Рп(
)=ch(n·arch( 
)).В литературе приводятся доказательства, что Рп(
) действительно является полиномом степени n. Эти полиномы приводятся в справочной литературе, например в [Л.2], стр. 290.n=2; P2(
)=cos(2·arccos )=2 2-1;n=5; Ps(
)=cos(5·arcos )=16 5-20 
3+5 .В полосе пропускания, то есть на интервале от 0 до
квадрат полинома Чебышева будет меняться в пределах [0;1], принимая поочерёдно крайние значения (n+1) раз. При этом функция а на рассматриваемом интервале частот будет принимать такое же число раз значения[0;Δа].