Элементы теории автоматического регулирования (стр. 2 из 3)
Для электронного усилителя, например, характеризующее его выражение имеет вид:
U=KUвх
где К - коэффициент усиления.
Данное уравнение характеризует усилитель как элемент АСР.
Выражение, характеризующее, например, электродвигатель в статике, имеет более сложный вид, но также является алгебраическим. Поведение системы в динамических режимах описывается только дифференциальными и интегральными уравнениями.
При составлении дифференциальных уравнений за начало отсчета берут не нуль, а равновесное рабочее состояние, т.е. ΔU, ΔI и т.д.
Основные этапы составления дифференциальных уравнений АСР следующие:
1. Вся система разделяется на отдельные элементы, причем за основу деления принимаются не технические (функциональные) признаки, а динамические свойства элементов.
2. Выявляются физические закономерности в каждом отдельном элементе, которые связывают в зависимость.
3. Через параметры элемента записывают уравнения этого элемента.
4. Из системы уравнений отдельных элементов получают дифференциальное уравнение АСР в целом.
Для решения дифференциальных уравнений в теории автоматического регулирования пользуются так называемым операторным методом или методом преобразования Лапласа. Основное достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет сложные дифференциальные и интегральные соотношения представить в удобной для анализа алгебраической форме. Сущность метода состоит в следующем. Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного (в том числе и времени) в функцию комплексного переменного. Такое преобразование и превращает дифференциальные уравнения в алгебраические.
Понятие комплексного числа и операции над ними известны из курса элементарной алгебры.
Понятия: функция, производная, интеграл комплексного переменного остаются без изменения также, однако меняются их содержание и соответственно действия над ними.
Закон, по которому функция вещественного переменного преобразуется в функцию комплексного переменного или в операторное изображение, есть преобразование Лапласа функции f(t) :
, (1)где p = α + jω – произвольная комплексная величина; α и ω – вещественные переменные; f(t) - функция времени, например, изменение во времени напряжения, угла поворота и т.д. В дальнейшем будем называть функцию f(t) оригиналом, а соотношение (1) ее операторным изображением.
Преобразование (1), осуществляемое над функцией f(t), сокращенно обозначается так:
f(t)↔F(p) или F(p) =L [f(t)]. (2)
Эту запись нужно понимать так: от данной функции f(t) можно перейти к ее изображению F(p) и, наоборот, от изображения данной функции F(р) можно перейти к самой функции f(t).
Формула обратного преобразования:
, (3)Чтобы понять суть применения операторного метода, можно провести некоторую аналогию между его применением и использованием логарифмов для выполнения сложных вычислений. Использование логарифмов позволяет заменить сложные операции возведения в степень и извлечения корня умножением и делением, а умножение и деление - сложением и вычитанием. По окончании вычислений осуществляется обратный переход от логарифмов к самим величинам.
Здесь также изменяющиеся во времени величины заменяются соответствующими операторными изображениями этих величин. С изображениями выполняются все операции, необходимые для математического исследования АСР. После окончания решения осуществляется обратный переход от изображений к вещественным величинам.
Основные соотношения операторного исчисления сведены в табл. .1. По ним осуществляют прямой и обратный переход.
Чтобы увидеть преимущество решений дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа, рассмотрим пример.
Пусть линейная АСР описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка:
(4)Применяем преобразование Лапласа
(5)Воспользуемся приведенными выше правилами.
(6) 
(7)Таблица 1)
f(t) (оригинал) | F(p) (изображение) | f(t) (оригинал) | F(p) (изображение |
а f(t) | а F(p) |  | pn F(p) |
f1(t) ± f2(t) | F1(p)± F2(p) |  |  |
 | рF(p) |  n |  |
Получим операторное изображение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях.
Передаточной функцией элемента или системы называется отношение изображения Лапласа (или операторного изображения) соответствующей выходной величины к изображению Лапласа входной величины. При этом считается, что элемент или система находились при нулевых начальных условиях.
Таким образом, передаточная функция определяется отношением
(8)Учитывая (7), выражение для передаточной функции можно записать в виде
(9)При р = 0, т.е. когда нет изменяющихся величин (установившееся состояние системы), передаточная функция вырождается в обычный коэффициент усиления системы. Так, у электронного усилителя передаточная функция К(р) = К.
В АСР степень полинома знаменателя D(p) всегда выше или, в крайнем случае, равна степени полинома числителя Е(р), т.е. всегда n > m.
Корни полинома числителя называют нулями, а знаменателя - полюсами.
Из соотношений (4) - (9) ясно, что передаточную функцию можно получить простой формальной заменой производных дифференциального уравнения символом р в соответствующей степени. Из передаточной функции можно определить выходную величину:
(10)Включение отдельных звеньев АСР можно выполнять в трех основных формах: последовательное, параллельное и встречное включение (охват обратной связью).
Пусть АСР состоит из п последовательно включенных звеньев (рис.3), передаточные функции которых равны:
К1(р) ; К2(р) ; . . . ; Кn(р)
Пусть на вход первого звена подается величина хвх и с выхода этого звена снимается величина х1. Эта величина — соответственно входная величина второго звена. С выхода второго звена снимается величина х2, которая является входом третьего звена и т.д.
Запишем значение передаточных функций всех звеньев:
(11)Передаточная функция всей системы может быть определена
(12) 
или 
(13)Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из последовательно включенных звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев. Если АСР состоит из n параллельно и согласно включенных звеньев (рис. 4), их передаточные функции равны: К1 (р), К2(р),...,Кn (р).
Пусть на вход цепи подается величина хвх. На вход каждого звена соответственно подаются величины: x1вх, х2вх, …., х n вх. Выходные величины обозначим через xlвых, х2 вых , х3 вых,...., х n вых, а суммарную величину через х вых:
Хвых= Х1 вых +Х2 вых+ . . . +Хn вых;
К(р)=К1 (р)+ К2 (р)+ . . . + Кn(р);
(14)Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из n параллельно и согласно включенных звеньев, равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.
Для параллельного встречного включения звеньев 1 и 2 (рис.5), передаточные функции которых равны К1(р) иК2(р), имеем:
на входе
на выходе
Знак "+" соответствует положительной обратной связи, знак "-" - отрицательной. Уравнения звеньев будут иметь вид:
, поэтому 
.Отсюда
Сделав перестановку и изменив знаки, получили:
(15)