Определение спектра амплитудно-модулированного колебания

Аналитическая запись колебания UW(t). Определение коэффициентов аn. Определение коэффициентов bn. Определение постоянной составляющей А0. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn. Аналитическая запись АМ колебания. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ.

Пензенский государственный университет

Кафедра «РТ и РЭС»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»

на тему

«Определение спектра

амплитудно-модулированного колебания»

Задание выполнил студент

группы 01РР2

Чернов С. В.

Задание проверил

Куроедов С. К.

Пенза 2003


Содержание

1. Формулировка задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Шифр задания и исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Аналитическая запись колебания UW (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Определение коэффициентов аn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Определение коэффициентов bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6. Определение постоянной составляющей А0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму

найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

колебания uW (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра

колебания uW (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

10. Аналитическая запись АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . 11

12. Определение ширины спектра АМ колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Формулировка задания

Определить спектр АМ колебания u(t) =Um (t)cos(w0 t+y0 ), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения Uc (t), т.е. Um (t).=U0 + Uc (t)

(коэффициент пропорциональности принят равным единице).

Сигнал сообщения Uc (t) представляет собой сумму первых пяти гармоник периодического колебания uW (t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектр сигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в форме амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимо кроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции mn . Несущая частота определяется как w0 =20W5 , где W5 – частота пятой гармоники в спектре колебания uW (t). Значение амплитуды U0 несущей частоты w0 принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания uW (t).

2. Шифр задания и исходные данные

Шифр задания: 17 – 3

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

U1 , В

U2 , В

T, мкс

t1 , мкс

3

3

250

60

Временная диаграмма исходного колебания


3. Аналитическая запись колебания U W (t)

Сначала выполним спектральный анализ заданного колебания uΩ (t). Для этого, пользуясь графической формой колебания и заданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебания разбиваем на три интервала: [0;t1 ], [t1 ;t2 ] и [t2 ; T] (точка является серединой интервала [t1 ; T]). Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями. В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:

при ,

uΩ (t)= при , (1)

при .

Частота синусоиды (в знаменателе записан период этой синусоиды).

Значения k1 и b1 определяем из системы уравнений

;

,

получаемой путем подстановки во второе уравнение системы (1) значений времени t1 и и соответствующих им значений колебания uΩ (t) (uΩ (t1 )=0, uΩ (t)=-U2 ). Решение указанной системы уравнений дает , . Аналогично определяем k2 и b2 . В третье уравнение системы (1) подставляем значения t2 и T и соответствующие им значения колебания uΩ (t) (uΩ (t2 )=-U2 , uΩ (T)=0).

;

.

Решив систему, получаем ,

В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид

при ,

uΩ (t)= при , (2)

при .

Для дальнейших расчетов определим:

мкс;

рад/с

рад/с

Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения аn , bn , Аn и φn первых пяти гармоник.

4. Определение коэффициентов an

Посчитаем каждый из интегралов отдельно:

;

,

первый интеграл интегрируем по частям:

, ,

, .

;

аналогично интегрируем:

.

Запишем выражение для аn , как функции порядкового номера n гармоник колебания UW (t):

.

Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1 , k2 , b2 , заданное значение U1 и значения n =1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов an :

В

В

В

В

В.

Заносим полученные результаты в таблицу 2.

5. Определение коэффициентов bn

.

Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:

;

, ,

, .

;

.

Запишем выражение для bn , как функции порядкового номера n гармоник колебания UW (t):

.

Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1 , k2 , b2 , заданное значение U1 и значения n =1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов bn :

В

В

В

В

В.

Занесём полученные данные в таблицу 2.

6. Определение постоянной составляющей А0

В.

7. Определение амплитудAn и начальных фаз Yn

Значения An и Ψn вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов an и bn .

,

.

В,

В,

В,

В,

В;

рад,

рад,

рад,

рад,

рад.

Полученные результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2

n 1 2 3 4 5
an 1.641 0.033 -0.368 -0.237 -0.128
bn 1.546 0.548 0.442 0.028 -0.093
An 2.254 0.549 0.575 0.239 0.159
Ψn 0.756 1.511 2.264 3.023 -2.512

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

t, мкс

u(t) – заданноеколебание,

S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,

S1(t) – первая гармоника,

S2(t) – вторая гармоника,

S3(t) – третья гармоника,

S4(t) – четвертая гармоника,

S5(t) – пятая гармоника,

A0 – постоянная составляющая.

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания uW (t)

Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения uc (t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания uW (t).

АЧХ колебания uW (t)

ФЧХ колебания uW (t)

10. Аналитическая запись АМ колебания

В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания uW (t) (постоянную составляющую А0 отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как

рад/с – несущая частота.

Значение амплитуды U0 несущей частоты w0 принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un – амплитудное значение гармоники спектра колебания UW (t).

,

В.

– начальная фаза несущего колебания.

– парциальные коэффициенты глубины модуляции.

Вычислим значения парциальных коэффициентов:

,

,

,

,

.

Полученные результаты заносим в таблицу 3.

Представим АМ колебание в форме суммы элементарных гармоник

.

Вычислим значения :

В,

В,

В,

В,

В.

Полученные результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3.

n 1 2 3 4 5
mn 0.3221 0.0784 0.0822 0.0341 0.0227
Bn , В 1.127 0.274 0.288 0.119 0.079

11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания

Воспользовавшись численными значениями U0 , ω0 , Bn , Ω, Ψ0 , Ψn , построим графики АЧХ и ФЧХ амплитудно-модулированного колебания.

АЧХ АМ колебания

ФЧХ АМ колебания

12. Определение ширины спектра АМ колебания

Ширина спектра АМ колебания равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

рад/с.