Управление динамической системой (стр. 2 из 3)

Найдем равновесное состояние системы при следующих условиях

. Подставим эти условия в систему (1), получим систему вида:

Решая систему численно, получаем равновесное состояние системы при ω₀=34.54 и μ₀=0.5. Построим графики M_c(ω) и M_g(ω,μ) при разных μ₀. На рисунке 1 жирными сплошными линиями отмечены графики M_c(ω) и M_g(ω,μ) при μ₀=0.5

Рисунок 1 – Графики функций M_c(ω) и M_g(ω,μ)

4 Численное нахождение функций ω(t) и μ(t) равновесного состояния

Для того чтобы из системы (1) найти функции ω(t) и μ(t), необходимо понизить степень системы, то есть избавиться от производных второго порядка. Для этого введем функцию Z(t)= μ'(t), получим систему вида:

(2)

Решая систему численно, получаем табличные значения ω(t) и μ(t), по которым строим графики ω(t) (рисунок 2) и μ(t) (рисунок 3). По графикам хорошо видно, что ω(t) и μ(t) стремятся к равновесным значениям ω0=31.948 и μ0=0.5, ω(t)→ 31.948, μ(t) →0.5, что соответствует вычислениям.

Рисунок 2 – График функции ω(t)

Рисунок 3 – График функции μ(t)

5 Линеаризация и численное решение разомкнутой системы

Линеаризуем систему (2) в окрестности точки равновесия. Для этого выведем систему из равновесия, придав u, μ, ω малые приращения ∆u, ∆μ, ∆ω→0. Соответственно придается приращение Z, ∆Z→0.

(3)

Теперь разложим функции M_c(ω) и M_g(ω,μ) в ряды Тейлора по формулам:

Пренебрегая остаточными членами O_g(ω,μ) и O_c(ω), получим систему вида:

Или

(4)

Решая систему численно, получаем табличные значения ∆ω(t) и ∆μ(t), по которым строим графики ∆ω(t) (рисунок 4) и ∆μ(t) (рисунок 5).

Рисунок 4 – График ∆ω(t)

Рисунок 5 – График ∆μ(t)

6 Замкнутая система

В векторно-матричной форме линейную систему с непрерывным временем можно записать в виде:

, где

А =(5)

С дискретным временем:

X_k+1 = A_∆X_k + B_∆U_k , где

Замкнем систему, положив

, где k – коэффициент регулятора. Из соотношений (3) получим , и тогда с непрерывным временем система примет вид:

, где

(6)

С дискретным временем

, где

7 Оценка управляемости системы

Составим матрицу К:

Ранг матрицы K равен 3, что равно размерности системы (5), следовательно, система управляема.

Найдем коэффициент k₀ регулятора замкнутой системы на границе устойчивости по критерию Рауса-Гурвица.

Сначала составим характеристическое уравнение для системы (6).

(7)

Найдем k по критерию Рауса-Гурвица.

Определитель Рауса-Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения и имеет свойство

. где ∆_n и ∆_n-1 определители матрицы, a_n свободный член характеристического уравнения.

Проверим ∆₁, ∆₂:

∆₁ = |41.16| = 41.16 > 0

∆₂ =

Условие границы устойчивости, если хотя бы один определитель будет равен нулю. Пусть ∆_n=0, тогда а_n=0. Получим:

, отсюда k₀=0.169.

8 Оценка устойчивости системы

Найдем корни характеристического уравнения (7) λ₁, λ₂, λ₃ при различном Коэффициенте регулятора k, k = k₀*α = 0.169* α, где α=0.6..0.9.

Таблица 4 – Корни характеристического уравнения замкнутой системы

α=0.6	α=0.7	α=0.8	α=0.9
λ1	-1.13	-1.30	-1.45	-1.59
λ2	-2.29	-2.47	-2.64	-2.79
λ3	-40.00	-39.99	-39.97	-39.96

Построим графики изменения λ₁, λ₂, λ₃.

Рисунок 6 – График изменения λ₁

Рисунок 7 – График изменения λ₂

Рисунок 8 – График изменения λ₃

Действительные части собственных чисел матрицы системы всегда меньше нуля, следовательно, система устойчива.

9 Построение переходного процесса

Построим переходный процесс для системы (6) с начальными условиями t=0, ω(0)= 1.1ω₀, μ(0)=0, Z(0)=0 по формуле:

, где

, - правые и левые собственные вектора системы.

Собственные числа:

λ₁= 1.59

λ₂= – 2.79

λ₃= –39.96

Матрица правых собственных векторов

Матрица левых собственных векторов

Получим переходный процесс

в котором

Построим графики ω(t), μ(t), Z(t)

Рисунок 9 - Переходный процесс ω(t)

Рисунок 10 - Переходный процесс μ(t)

Рисунок 11 - Переходный процесс Z(t)

10 Нахождение передаточной функции для разомкнутой системы

Сделаем преобразование Лапласа над разомкнутой линейной системой, получим систему вида:

, или

Выразим ∆μ из первого уравнения: