Идентификация технологических объектов управления (стр. 5 из 7)
Минимизируя функционал
Если эксперимент спланирован с выполнением условий симметричности, нормированности и ортогональности, то рассмотренные выражения окажутся проще, так как
С учетом этого выражения для расчета коэффициентов получим в соответствии с (3.26) моделей объектов.
Эксперимент, при котором перебираются все возможные сочетания xi, называют полнофакторным или ПФЭ2n. Он дает возможность определить только коэффициент при входных воздействиях первого порядка и их сочетаниях. Такой ПФЭ называют планом первого порядка.
Кроме ПФЭ2n применяется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который позволяет уменьшить объем эксперимента. По числу коэффициентов выполняются эксперименты для реализации (3.23). Так, если требуется определить четыре коэффициента - а0, alta2, а-х, то достаточно провести четыре эксперимента, удовлетворяющих требованиям ПФЭ. Это соответствует двухфакторному эксперименту, где колонка x1 х2 заменена колонкой х3. Для модели типа
вместо N = 23 =8 достаточно провести четыре опыта. В таблице планирования эксперимента (табл. 3.4) колонка 0 заполняется плюсами, 1 — чередованием плюса и минуса через одну строку, 2 — через две строки, а 3 формируется путем умножения построчно колонок 1 и 2. Модель в абсолютных единицах после определения коэффициентов записывается в виде
Динамическая идентификация
Многие технологические объекты управления, функционирование которых в динамике еще недостаточно изучено, не могут быть описаны аналитически. Для получения их динамических моделей также применяются экспериментальные методы. Целью последних является нахождение аналитических выражений, описывающих динамику объекта управления с требуемой степенью точности. В отличие от статических моделей динамические связывают выходную величину с входным воздействием в процессе их изменения во времени.
В практике предшествующих дисциплин для записи динамических моделей линейных систем использовался аппарат дифференциальных уравнений. Как правило, технологические объекты управления являются системами, элементы которых имеют нелинейные характеристики и описываются уравнениями высоких порядков. В передаточных устройствах электропривода имеются люфты, возможно наличие сухого трения, приходится учитывать упругости их элементов и т.д.
Применение методов математического моделирования избавляет исследователя от решения дифференциальных уравнений, но при этом необходимо иметь аналитические модели всех звеньев.
Экспериментальные методы позволяют получить формальную модель практически любого объекта по результатам обработки экспериментальных данных. Существуют активные и пассивные эксперименты.
Активный эксперимент основан на задании объекту специально сформированных управляющих или возмущающих воздействий. По реакции объекта на эти воздействия устанавливаются и оцениваются его динамические свойства. Обычно изучается реакция на скачкообразные, гармонические или импульсные воздействия. Полученные переходные или частотные характеристики позволяют определить, например, для линейной системы передаточные коэффициенты, постоянные времени отдельных звеньев и динамические свойства объекта в целом.
Не для всех систем может быть поставлен активный эксперимент. Иногда он может быть неприемлем из-за дороговизны специального дополнительного оборудования, высокой стоимости его монтажа, нередко его реализация невозможна по условиям техники безопасности. В этих случаях применяется пассивный эксперимент. Сущность его заключается в фиксации значений входных и выходных переменных в нормальных эксплуатационных динамических режимах.
Одним из сравнительно несложных современных методов динамической идентификации, основанных на результатах пассивного эксперимента, является метод Калмана. Сущность его заключается в следующем:
- в процессе эксплуатации через строго фиксированные интервалы времени записывают значения входных и выходных параметров;
- выбирают наиболее простой вид аналитической модели, записан ной в виде разностного уравнения того или иного порядка;
- по результатам эксперимента и принятого типа модели методом минимума суммы квадратов отклонений определяют коэффициенты разностного уравнения;
- решают разностное уравнение и сравнивают полученные динамические характеристики с экспериментом;
- при больших отклонениях задаются разностным уравнением более высокого порядка и повторяют расчет.
Сопоставление изложенной выше методики динамической идентификации с порядком выполнения статической идентификации свидетельствует об их аналогии. Отличие состоит лишь в моделях: модель в ста тике описывается алгебраическим уравнением, динамическая модель — разностным.
Для дифференциального линейного уравнения k- го порядка аналогом будет разностное уравнение вида
где п — номер точки эксперимента; А, В — коэффициенты разностного уравнения. Оно может быть принято в качестве исходной модели при динамической идентификации.
Поскольку порядок идентифицируемого объекта обычно неизвестен, следует начинать с наиболее простой модели, а именно — разностного уравнения первого порядка вида
Если модель окажется недостаточно адекватной, следует взять в качестве модели разностное уравнение второго порядка
yn = A0yn –1 + A0yn –2 + B0xn –1 + B0xn –2
Далее, используя методику минимизации суммы квадратов отклонений, т.е. функционала вида
Получаем систему уравнений из которых можно А0 А1, В0, В1
Экспериментальные модели недетерминированных объектов
Выше рассматривались простейшие случаи получения экспериментальным путем гладких, устойчиво, без разбросов повторяющихся аналитических моделей. Пригодность такой модели оценивалась по допустимому максимальному отклонению от эксперимента. На практике на эксперимент оказывает влияние действие многих малозначащих факто ров в различных непрогнозируемых сочетаниях. Поэтому при повторении опытов с одними и теми же значениями входов получают неповторяющиеся значения выходов. Разброс выходных величин, его причины и характер могут быть различными. Они могут вызываться систематическими погрешностями, являющимися функцией времени (изменение сопротивления резистора при изменении температуры, дрейф нуля усилителя и т.п.). Разброс может быть вызван пороговым действием какого-либо неучтенного фактора и при эксперименте давать повторяющуюся зависимость, имеющую характер ломаной линии. Весьма часто на разброс влияют отклонения случайного характера.
Для устранения систематических погрешностей применяют многократное повторение необходимой номенклатуры опытов при различных сочетаниях значений входов в случайной последовательности (рандомизация). Так, при двухфакторном эксперименте с N, равным 4 опытам, с приведенными ранее сочетаниями х1 и х2 (см. табл. 3.4) при первом эксперименте проводят опыты в последовательности 1, 2, 3, 4, затем меняют последовательность - 3, 1, 2, 4 и т.д. Случайные последовательности номеров опытов получают, пользуясь таблицами случайных чисел (отбрасывая повторяющиеся числа и значения, большие N). Квазислучайные последовательности получают, используя различные алгоритмы, например алгоритм Неймана. По этому алгоритму для получения случайных чисел в пределах 0 ... 1 выбирают произвольное число, меньшее единицы, возводят его в квадрат, берут из середины результата необходимое число разрядов, вновь возводят в квадрат и т.д.
Когда действует порогово-дискретный фактор, применяют сглаживание. Наиболее простой метод сглаживания — по способу скользящей средней. Состоит он в вычислении средней ординаты для фиксированных значений абсцисс:
где унr - п-я ордината на гладкой (сглаженной) кривой.
Когда разброс вызван действием случайных факторов, задача усложняется тем, что значения переменных и параметров, полученные при проведении эксперимента, являются лишь приближенными оценками неизвестных истинных значений, т.е. эти значения получены со случайными погрешностями, а следовательно, и сами оценки являются случайными величинами.