регистрация /  вход

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства (стр. 1 из 2)

Линейные метрические, нормированные и унитарныепространства


Введение

При решении многих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: как объективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить "близость" двух сигналов.

Оказывается, что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированного пространства, позволяют ответить на эти вопросы.

Введем обозначения. Если R – некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R;

или f Ï R означает, что f не принадлежит R.

Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначается символом

например
- множество точек, принадлежащих полукругу х2 + y2 £ 1, x ³ 0.

Если M и N – два множества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующим образом

то есть представляет собой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.


1. Линейные метрические пространства

Множество R называется линейным пространством, если

1) в R определена операция "сложения", которая подчиняется всем правилам сложения: если f Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой, что 0 +f = f для всех f Î R;

2) в R определена операция умножения элемента f Î R на числа a из множества К (aÎ К, f Î R Þa f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.

В дальнейшем будем рассматривать только линейные пространства.

Рассмотрим отображение Т, которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейным пространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называется оператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения

T f = h (f Î R, h Î R*).

В частном случае, когда R* - пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.

Пусть уравнение

T f = h

имеет единственное решение и каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1 . Таким образом можно записать


f = T-1 h.

Пример. Пусть имеется система линейных уравнений

Представим эту систему в матричном виде

Если ввести пространство матриц – столбцов R, то

где

и

Здесь оператор А – матрица размера nxn

Если матрица А невырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:


Определение. Линейное пространство R называется метрическим, если каждой паре элементов х, yÎR ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояние между x и y – удовлетворяющее условиям:

1. r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;

2. r (x, y) = r (y, x);

3. r (x, y) £r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).

Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.

В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.

1. С[ a , b ] - пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:

y(t)

r(x,y)


2. L2 ( a , b ) - пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) ÎL2 ( a , b ) , если

с метрикой

Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия

следует, что

a1 = a2 = . . . = an = 0.

В противном случае элементы f1 , f2 , . . . , fn считаются линейно зависимыми.

Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dimR пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dimR, то пространство обозначается Rm .

2. Линейные нормированные пространства

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х ÎR ставится в соответствие вещественное число

("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:

1.

, тогда х = 0;

2.

(однородность нормы);

3.

(неравенство треугольника).

Положив для

превращаем нормированное пространство R в метрическое.

Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:

положив

Рассмотренные ранее пространства сигналов С[ a , b ] и L2 ( a , b ) становятся соответственно нормированными, если

и

Если положить а = ¥, b = ¥, то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.


так как такая энергия выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.

Пример. Имеется треугольный импульс длительности t:

Вычислить энергию и норму сигнала.

Решение.

3. Линейное унитарное пространство

Определение. Линейное нормированное пространство R называется унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждой паре элементов x, yÎR ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям

1. (x, y) = (y, x)* ( * - знак комплексного сопряжения);

2. (a1 х1 + a2 х2 , y) = a1 (x1 , y) + a2 (x2 , y) (a1 , a2 ÎK);

3. (x, x) ³ 0, если (х, х) = 0, то х = 0.

В унитарном пространстве норма вводится следующим образом


Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца

Равенство имеет место лишь для линейно зависимых элементов.

Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство

Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).

Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма

Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).

Определение. Два элемента х, yÎR (x¹ 0, y¹ 0) называются ортогональными, если (х, y) = 0.

Система элементов e1 , e2 , . . . , en , . . . унитарного пространства R называется ортонормированной, если


Пусть система элементов х1 , х2 , . . . , хn , . . . ортогональна ((xi , xj )=0, i¹j), тогда ее можно нормировать, положив

Из ортонормированности системы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимую систему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Если система элементов y1 , y2 , . . . , yn , . . . –линейно независимая, то система e1 , e2 , . . . , en , . . ., где


Дарим 300 рублей на твой реферат!
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Мы дарим вам 300 рублей на первый заказ!