Смекни!
smekni.com

Компьютерная схемотехника (стр. 3 из 32)

Функция двоичных переменных также равная одному из двух значений (нулю или единице) - называется переключательной (логической) функцией (ПФ).

Логические функции обозначаются прописными буквами F или Y, а двоичные переменные - А, В, С, D, E, ... или строчной буквой икс с индексом, например, x1, х2, х3 ... .

ПФ может быть выражена (задана):

- словесно;

- алгебраическим (булевым) выражением;

- таблицей истинности;

- диаграммой Вейча (картой Карно).

Примеры задания переключательной функции (ПФ):

1) словесно: функция двух переменных принимает значение логической единицы, если обе переменные также равны единице, в противном случае, она равна нулю;

2) выражением:

3) таблицей истинности (таблица 3.1)

Таблица включает наборы (комбинации) логических переменных, которые должны быть упорядочены по возрастанию или убыванию их десятичных эквивалентов, а также значения функции на каждом наборе. Каждый набор имеет номер, равный десятичному эквиваленту двоичного числа, если наборы упорядочены по возрастанию. Если число переменных равно n, то количество наборов N = 2n. Номера наборов изменяются от 0 до (2n-1). Общее число переключательных функций n – переменных

.(3.1)

Таблица 3.1

№ набора В А F
0 0 0 0
1 0 1 0
2 1 0 0
3 1 1 1

Представление переключательной функции диаграммой Вейча (картой Карно) будет рассмотрено позднее при изучении вопроса минимизации ПФ.

3.2 Переключательные функции одной переменной (n=1)

Если n=1, то число наборов N=21=2, а количество ПФ

(таблица 3.2)

Таблица 3.2

N набора A F0 F1 F2 F3
0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1

Функция F0 называется константой нуля, так как на всех наборах принимает нулевое значение (F0=0). Функция F3 - константа единицы, так как всегда равна единице (F3=1). Функция F2=A называется повторением, а

– инверсией (отрицанием – не А).

3.3 Переключательные функции двух переменных (n=2)

Если n=2, то число наборов N=22 =4, а количество ПФ

(таблица 3.3)

Отметим из этих шестнадцати функций 2-х переменных наиболее часто использующиеся:

F0 – константа нуля;

F15 – константа единицы;

F8=А

В=А*В – конъюнкция (логическое умножение (логическое “И”));

F14=А

В=А+В – дизъюнкция (логическое сложение (логическое “ИЛИ”));

F6=

исключающее ИЛИ (сумма по модулю два, неравнозначность, неэквивалентность);

– равнозначность (эквивалентность);

– ИЛИ-НЕ;

– И - НЕ.

Таблица 3.3

№ набора В А F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

3.4 Базисные логические функции

Любую логическую функцию можно представить совокупностью элементарных логических функций: дизъюнкцией, конъюнкцией, инверсией или их суперпозицией. Набор элементарных функций ИЛИ, И, НЕ называют функционально полным или базисным (базисом). Кроме того существуют еще два базиса: И-НЕ; ИЛИ-НЕ.

3.5 Принцип двойственности булевой алгебры

Если в выражении F8=А

В конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и проинвертировать обе переменные, то результат окажется инверсией прежнего значения функции

. Аналогично, если в выражении F14=А
В
дизъюнкцию заменить на конъюнкцию и проинвертировать обе переменные, то результат окажется инверсией прежнего значения функции
.

Указанные свойства логических функций отражают принцип двойственности булевой алгебры.

3.6 Основные тождества булевой алгебры

А+0=А;А+1=1;

А+А=А;А+

=1;

А*0=0;А*1=А;

А*А=А;А*

=0;
=А.

3.7 Основные законы и теоремы булевой алгебры

3.7.1 Законы

Переместительный (свойство коммутативности): А+В=В+А; А*В=В*А.

Сочетательный (свойство ассоциативности): (А+В)+С=А+(В+С); (А*В)*С=А*(В*С).

Распределительный (свойство дистрибутивности): А*(В+С)=А*В+А*С; А+В*С=(А+В)*(А+С).

3.7.2 Теоремы

Поглощения: А+А*В=А; А*(А+В)=А.

Склеивания:

Де Моргана. Существует две формы записи теоремы де Моргана:

Форма 1:

(3.1.1)

Форма 2:

(3.1.2)

Последние два выражения вытекают из принципа двойственности булевой алгебры (раздел 3.5).

Теорема без названия. Существует еще одна теорема без названия, которую представим следующим образом:

(3.1.3)

Два полезных соотношения:

(3.1.4)

3.8 Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) записи булевых выражений

СДНФ является одной из аналитических форм представления переключательных функций. Булевы выражения простых логических функций можно записать по их словесному описанию. В общем случае для получения аналитической формы (булевого выражения) используют таблицы истинности.

Предположим, логическая функция трех переменных задана таблицей истинности (таблица 3.4).

Таблица 3.4

№набора С В А F
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0

Эта функция имеет четыре конституенты единицы К1, К4, К5 и К6 (коституента единицы – это единичное значение ПФ на одном конкретном наборе. Всего для ПФ трех переменных может быть восемь конституент единицы, если функция принимает единичное значение на всех наборах). Конституента единицы записывается в виде конъюнкции. Для нашего примера

;
.

Булево выражение ПФ в СДНФ представляет сумму конституент единицы:

.(3.2)

Поскольку конституенты единицы записываются в виде конъюнкций, то СДНФ представляет сумму конъюнкций, каждая из которых содержит все переменные в прямом или инверсном виде не более одного раза. Очевидно, что логическая функция имеет единственное булево выражение в СДНФ, что следует из методики его получения.