Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги (стр. 1 из 3)

Системи масового обслуговування з очікуваннямбез обмеження на довжину черги

1. Системи масового обслуговування з очікуванням

Багатоканальні СМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має

каналів. Кожна заявка надходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний. Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекає звільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом . Якщо, один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненого каналу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали і усі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо, що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром , а потік обслугованих заявок також пуассонівський с параметром . Тоді система може знаходитись у станах Причому – це стани, коли немає черги, тобто відповідно – всі канали вільні, – один зайнятий, … , – усі каналів зайняті, - усі канали зайняті і одна заявка в черзі, … , – стан, коли всі каналів і всі місць у накопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається. Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, а над стрілками ймовірності переходів за час , якщо малий.

Рисунок 1

Якщо порівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що для ймовірностей переходу

, коли , ми одержуємо такі ж диференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.

Отже потрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли

.

Нехай

. Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена

,(1)

де

– функція що задовольняє умові .

, (2)

,(3)

де як і раніше

число заявок, що надходять до СМО за час ,
а – число заявок, що обслуговані за час .

(4)

Тепер врахуємо (2), (3 і (4) до (1)

Віднімемо від обох частин останньої рівності

та розділимо на

Перейдемо до границі в обох частинах, коли

(5)

Тепер, продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчислення перехідних ймовірностей із стану до стану, коли

, де

Враховуючи формулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого (пуассонівського) потоку можна записати:

(6)

Далі за властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:

, (7)

, (8)

. (9)

Врахуємо (7), (8) і (9) до (6).

В останній рівності віднімемо від обох частин

і розділимо на .

А тепер перейдемо до границі в обох частинах, коли

, тоді

(10)

де

.

Останнє рівняння системи, для визначення перехідних ймовірностей

, містить :

Враховуючи ті ж самі властивості стаціонарності і ординарності простіших (пуассонівських) потоків, одержимо:

,(11)

. (12)

Якщо підставити (11) і (12) у рівність (10), тоді матимемо:

.

Якщо відняти від обох частин останньої рівності

, а далі розділити на , тоді запишемо

Тепер обчислимо границі від обох частин, якщо

:

(13)

Таким чином отримуємо систему диференціальних рівнянь для обчислення

– ймовірностей переходу від стану до стану СМО з чергою, що має скінченне число місць в накопичувачі:

(14)

Якщо спостерігати СМО достатньо довгий час

, тоді розв’язок системи (14) можна знайти, якщо позначити (фінальні ймовірності) у вигляді:

(15)

Система (15) є лінійною, однорідною, алгебраїчною системою з невідомими

. Для того, щоб знайти єдиний розв’язок системи (15) необхідно додати умову

.(16)

Раніше було доведено, що для усіх

діє формула:

, де