Случайные величины в статистической радиотехнике

Содержание

1. Основные понятия теории вероятности

2. Случайная величина

3. Основные теоремы теории вероятности

4. Случайные величины и их законы распределения

Библиографический список

1. Основные понятия теории вероятности

Полная группа событий : несколько событий образуют полную группу , если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Несовместные события : несколько событий являются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Равновозможные события : несколько событий называются равновозможными , если есть основание считать, что ни одно из них не является предпочтительным по сравнению с другими.

Частота события : если производится серия из N опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А , то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А , к общему числу произведенных опытов.

Частоту события часто называют статистической вероятностью и вычисляют на основании результатов опыта по формуле

, где m – число появлений события А .

При небольшом числе опытов N частота может меняться от одной серии опытов к другой из-за случайности событий. Однако при большом числе опытов она носит устойчивый характер и стремится к значению, которое называется вероятностью события .

2. Случайная величина

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры : число попаданий в мишень при ограниченном числе выстрелов; число вызовов по телефону в единицу времени; количество некондиционных транзисторов в партии выпускаемых изделий и т.д.

Случайные величины, принимающие только отдельные значения, которые можно пересчитать, называются дискретными случайными величинами .

Существуют СВ другого типа: значения шумового давления, измеренного в различные моменты времени; вес булки хлеба, продаваемого в магазине и т.д. Называют их непрерывными случайными величинами .

3. Основные теоремы теории вероятности

Сумма и произведение событий. Суммой двух событий А и Б называется событие С , состоящее в выполнении события А , или события Б , или обоих вместе.

Например, если событие А – попадание в мишень при первом выстреле, событие Б – попадание в мишень при втором выстреле, то событие С = А + Б есть попадание в мишень вообще безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и Б называется событие С , состоящее в совместном выполнении события А и события Б .

Если производится два выстрела по мишени и если событие А есть попадание при первом выстреле, а событие Б – попадание при втором выстреле, то С = А∙Б есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

2. Теорема сложения вероятностей . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий :

.


Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые для наглядности представлены на рис. 1 в виде N символов.

Рис. 1

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А , а k – событию Б . Тогда

.

Так как события А и Б несовместны, то нет случаев, которые благоприятны событиям А и Б вместе. Следовательно, событию А + Б благоприятны m + k случаев и

.

Подставляя полученные выражения в формулу для вероятности суммы двух событий, получим тождество.

Следствие Если события А 1 , А 2 , …, А N образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

3. Теорема умножения вероятностей . Необходимо ввести понятия независимых и зависимых событий.

Событие А называется независимым от события Б , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие Б или нет.

Событие А называется зависимым от события Б , если вероятность события А меняется от того, произошло событие Б или нет.

Вероятность события А , вычисленная при условии, что имело место другое событие В , называется условной вероятностью события А и обозначается P (А /В ).

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место :

.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к N случаям, которые для наглядности даны в виде символов на рис. 2.

Рис. 2

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию Бk случаев. Так как не предполагались события А и Б совместными, то существуют случаи, благоприятные и событию А , и событию Б одновременно. Пусть число таких случаев l . Тогда P (АБ ) = l /N ; P (A ) = m /N . Вычислим P (Б /А ), т.е. условную вероятность события Б в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из произошедших N случаев остаются возможными только те из m , которые благоприятствовали событию А . Из них l случаев благоприятны событию Б . Следовательно, P (Б /А ) = l /m . Подставляя выражения P (АБ ), P (A ) и P (Б /А ) в формулу вероятности произведения двух событий, получим тождество.

Следствие Если событие А не зависит от события Б , то и событие Б не зависит от события А .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий.

4. Формула полной вероятности . Формула полной вероятности является следствием обеих теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А , которое может произойти вместе с одним из событий H 1 , H 2 ,…, HN , образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда

,

т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Эта формула носит название формулы полной вероятности .

Так как гипотезы H 1 , H 2 ,…, HN образуют полную группу событий, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: А = H 1 А + H 2 А + …+ HN А. Так как гипотезы H 1 , H 2 ,…, HN несовместны, то и комбинации H 1 А, H 2 А , … HN А также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получим:

.

Применяя к событию Hi А теорему сложения, получим искомую формулу.

5. Теорема гипотез (формула Байеса). Имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2 ,…, HN . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P (H 1 ), P (H 2 ), …, P (HN ). Произведем опыт, в результате которого будет наблюдаться появление некоторого события А . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, идет речь о том, как найти условную вероятность

для каждой гипотезы после проведения эксперимента.

Из теоремы умножения имеем:

, (i = 1, 2, …, N ).

Или, отбрасывая левую часть, получим

, (i = 1, 2, …, N ),

откуда

, (i = 1, 2, …, N ).

Выражая P (А ) с помощью формулы полной вероятности, имеем:

, (i = 1, 2, …, N ).

Эта формула и носит название формулы Байеса или теоремы гипотез. Используется она в теории проверки статистических гипотез (в частности, в теории обнаружения сигналов на фоне помех).


4. Случайные величины и их законы распределения

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.


Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.