регистрация /  вход

Линейные преобразования случайных сигналов (стр. 1 из 4)

При анализе прохождения стационарного СП через линейные электрические цепи (рис. 1) будем полагать, что режим цепи установившийся, т.е. после подачи на вход цепи сигнала все переходные процессы, связанные с включением, закончились. Тогда и выходной СП будет стационарным. Рассматриваемая задача будет состоять в том, чтобы по заданной корреляционной функции входного сигнала или его спектральной плотности мощности определить B (t) или G (w) выходного сигнала.

Рис. 1

Сначала рассмотрим решение этой задачи в частотной области. Входной СП задан своей спектральной плотностью мощности G х (

). Выходная спектральная плотность мощности G y (w) определяется по формуле

Gy (

) = G х (
)K 2 (
), (1)

где K 2 (

) - квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Возведение в квадрат модуля основано на том, что искомая характеристика является действительной функцией частоты и энергетической характеристикой выходного процесса.

Для определения связи между корреляционными функциями необходимо применить к обеим частям равенства (1) обратное преобразование Фурье:

B x (

) = F -1 [Gx (
)]; F -1 [K 2 (
)] = B h (
)


- корреляционная функция импульсной характеристики исследуемой цепи:

B h (

)=
h
(t )h (t -
)dt .

Таким образом, корреляционная функция выходного СП есть

By (

) = Bx (
) Bh (
) =
Bx(t ) Bh (t -t)dt .

ПРИМЕР 1 прохождения стационарного случайного широкополосного сигнала через RC -цепь (фильтр нижних частот), представленную схемой на рис. 2.

Широкополосность понимается так, что энергетическая ширина спектра входного СП намного больше полосы пропускания цепи (рис. 3). При таком соотношении между формой K 2 (

) и Gx (
) можно не рассматривать ход характеристики Gx (
) в области верхних частот.

Рис. 2

Учитывая, что в полосе частот, где K 2 (w) существенно отличается от нуля, спектральная плотность мощности входного сигнала равномерна, можно без существенной погрешности входной сигнал аппроксимировать белым шумом, т.е. положить Gx (

) = G 0 = const. Такое предположение существенно упрощает анализ. Тогда Gy (
) = G 0 K 2 (
)


Для заданной цепи

K 2 (

) = 1/[1 + (
RC )2 ], тогда Gy (
) = G 0 /[1 + (
RC )2 ].

Рис. 3

Определим энергетическую ширину спектра выходного сигнала. Мощность выходного СП

Py = sy 2 = (2p)- 1

Gy (
)d
= G 0 /(2RC ), тогда

D

э = (G0)-1
Gy (
)d
= p/(2RC).

На рис. 4 показаны корреляционная функция выходного СП и его спектральная плотность мощности.

Спектральная плотность мощности по форме повторяет квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Максимальное значение Gy (

) равно G 0 . Максимальное значение корреляционной функции выходного СП (его дисперсия) равна G 0 /(2RC ). Нетрудно определить площадь, ограниченную корреляционной функцией. Она равна значению спектральной плотности мощности при нулевой частоте, т.е. G 0 :


.

Рис. 4

Энергетической (шумовой) полосой пропускания электрической цепи называется полоса частот, численно совпадающая с энергетической шириной спектральной плотности мощности сигнала на выходе цепи при воздействии на вход цепи белого шума. В заданной случае D

э = p/(2RC ). Сравним ее с полосой пропускания
гр этой же цепи на уровне 0,707. Так как
гр = 1/(RC ), то Dwэ = p/2
гр , то есть D
э в p/2 раз больше
гр .

Определим корреляционную функцию сигнала на выходе RC -цепи при воздействии на ее вход белого шума.

Так как выходная спектральная плотность мощности уже определена, то можно вычислить искомую функцию обратным преобразованием Фурье. Но в рассматриваемом случае проще анализ выполнить во временной области, то есть B y (

) = B x (
)B h (
), но так как B x (
) = W0 d(
), то B y (
) = W 0 B h (
) (учитывая фильтрующее свойство дельта-функции).

Таким образом, при воздействии на вход цепи белого шума, корреляционная функция выходного сигнала совпадает с точностью до постоянного множителя с корреляционной функцией импульсной характеристики рассматриваемой цепи. Так как


h (t ) = 1/(RC ) exp[-t /(RC )], t ³ 0, то

B h (

) =
h(t)h (t -
)dt = 1/(2RC )exp[-|
|/(RC )], -¥ <
< ¥.

На рис. 5 представлены корреляционные функции (рис. 5а) и спектральные плотности мощности (рис. 5б) для двух значений постоянной времени заданной цепи (RC )1 < (RC )2 . Дисперсия выходного СП

y 2 = B y (0) = = G 0 /(2RC ).

Площадь под кривой B y (

) равна значению спектральной плотности мощности при
= 0, есть G 0 . Из сравнения графиков на рис. 5 следует, что с уменьшением полосы пропускания цепи начальное (максимальное) значение корреляционной функции B y (0) уменьшается, что связано с уменьшением мощности выходного сигнала, и корреляционная функция изменяется медленнее с увеличением RC заданной цепи.

Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!