Смекни!
smekni.com

Технология и автоматизация производства РЭА (стр. 35 из 37)

суммарной погрешности e 41,2 0 этих двух звеньев находится с помощью

свертки исходных плотностей:

+ 7$

f(e 41 0,e 42 0)= 73 0f(e 41 0)*f(e 41,2 0-e 41 0)de 41 0 (87).

- 7$

Применяя последовательно операцию свертки n-1 раз, где n - коли-

чество звеньев в измерительной цепи, получаем закон распределения пол-

ной (результирующей) погрешности. Однако, решение данного уравнения не

всегда возможно. Поэтому при определении полной погрешности получили

широкое применение методы математического моделирования, в частности,

метод статистических испытаний. В этом случае законы распределения

случайных составляющих погрешности отдельных звеньев формируются с по-

мощью специальных генераторов или программным путем. Осуществляя мно-

гократный перебор случайных сочетаний значений отдельных составляющих

погрешностей и определяя каждый раз полную погрешность, можно по ре-

зультатам испытаний воспроизвести закон распределения полной погреш-

ности.

Определение полной погрешности в тех случаях, когда составляющие

погрешности заданы в виде некоторых числовых характеристик, можно осу-

ществить следующим образом. Если отдельные звенья ИИС охарактеризованы

экстремальными погрешностями, то полная погрешность определяется прос-

тым суммированием этих погрешностей. Однако, вполне очевидно, что та-

кое значение полной погрешности может быть существенно завышено. Если

составляющие погрешности отдельных звеньев заданы интегральными оцен-


- 93 -

ками или доверительными интервалами и вероятностями, то полная систе-

матическая погрешность многозвенного линейного измерительного канала

находится суммированием систематических погрешностей отдельных узлов,

а дисперсия случайной погрешности при условии некоррелированности пог-

решностей отдельных звеньев - как сумма дисперсий погрешностей звень-

ев.

В том случае, когда погрешности некоторых звеньев коррелированы

между собой, к сумме дисперсий добавляются удвоенные корреляционные

моменты соответствующих погрешностей. При суммировании вводятся весо-

вые коэффициенты, зависящие от схемы включения звеньев и определяемые

как частные производные от выходной величины измерительного канала по

величине на входе данного звена. В том случае, если заданы не диспер-

сии случайных составляющих погрешностей отдельных звеньев, а их дове-

рительные интервалы, для определения полной погрешности необходимо

знание законов распределения отдельных составляющих погрешностей. В

этом случае по известным законам распределения, доверительным интерва-

лам и вероятностям можно найти дисперсии погрешностей отдельных звень-

ев, а затем полученные дисперсии суммировать.

Из анализа приведенных выше структур ИИС можно заключить, что ос-

новные составляющие погрешности измерительного канала обусловлены пог-

решностями первичных измерительных преобразователей (датчиков), пог-

решностями аналого-цифровых преобразователей и мультиплексоров (комму-

таторов) аналоговых сигналов.

3.3. Основные понятия теории вероятности.

Нормальное распределение, математическое ожидание,

дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Доверительный интервал.

Методы проверки гипотез о распределении.

Предметом теории вероятности является математический анализ слу-

чайных явлений, т.е. таких эмпирических феноменов, которые, при опре-

деленном комплексе условий, могут быть охарактеризованы тем, что для

них отсутствует детерминистическая регулярность (наблюдения за ними не

всегда приводят к одним и тем же результатам) и в то же время они об-

ладают некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статис-

тической устойчивости частот).

Смысл статистической устойчивости частот заключается в том, что,

если результаты отдельных наблюдений носят нерегулярный характер, то

большое количество экспериментов позволяют получить некоторые законо-

мерности, связанные с этими экспериментами. Статистическая устойчи-

вость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности коли-

чественной оценки "случайности" того или другого события А, осущест-

вляемого в результате экспериментов. Исходя из этого, теория вероят-

ности постулирует существование у события А определенной числовой ха-

рактеристики Р(А), называемой вероятностью этого события, естественное

свойство которой должно состоять в том, что с ростом числа "независи-

мых" испытаний (экспериментов) частота появления события А должна

приближаться к Р(А).

Частотой события называется отношение числа его появлений к числу

произведенных опытов. Таким образом, если в n опытах событие А появи-

лось m раз, то его частота равна m/n. lim(m/n)=P(A).

n 76$

Предположим, что в результате n опытов случайная величина Х при-

няла значения х 41 0,х 42 0,...,х 4n 0, тогда выборочное среднее определяется фор-

мулой: 4n 0 4n

х 4ср 0=( 7S 0x 4i 0)/n; lim(x 4ср 0)=M(X); d 5* 0=( 7S 0(x 4i 0-х 4ср 0) 52 0)/n; lim(d 5* 0)=D(X); где


- 94 -

M(X) - математическое ожидание величины Х; d 5* 0 - выборочная дисперсия

величины Х; D(X) - дисперсия величины Х, корень квадратный из диспер-

сии называется среднеквадратическим отклонением величины Х.

Большое значение в теории вероятности, особенно при обработке ре-

зультатов экспериментов играет распределение Гаусса (нормальное расп-

ределение, нормальный закон, нормальная кривая, закон Гаусса), оно ха-

рактеризуется двумя параметрами: m 4x 0 - математическим ожиданием и s 4x 0 -

среднеквадратическим отклонением, которые полностью определяют все его

характеристики. При m 4x 0=0, s 4x 0=1 f(x)=(2 7p 0) 5-1/2 0exp{-x 52 0/2 } (88) нормаль-

ная кривая называется нормированной.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

f(x)

m 4x 0=0 . m 4x 0=0 . . m 4x 0=1 s 4x 0=2

s 4x 0=2. /|\. s 4x 0=1. .

. . | . . / \

. . | . / . \

. .. . . . .|../. . . . . .

________________0_|__________1_____________ x

Рис. 12. Примеры нормального распределения.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

Как показывает практика, такое распределение характерно для расп-

ределения погрешностей устойчивых, стабильных технологических процес-

сов производства РЭА.

Любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвест-

ных статистических характеристик, называется статистикой. Оценкой ста-

тистической характеристики Q называется статистика, реализация кото-

рой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истин-

ное значение параметра Q. Оценка называется состоятельной, если она

сходится по вероятности к Q при неограниченном увеличении числа опытов

n. Чтобы оценка была состоятельной, достаточно, чтобы ее дисперсия

стремилась к нулю при неограниченном увеличении числа опытов n.

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и

независящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероят-

ностью а накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику

Q, называется доверительным интервалом для этой характеристики, соот-

ветствующим коэффициенту доверия а. Величина 1-а называется уровнем

значимости отклонения оценки. Концы доверительного интервала называют-

ся доверительными границами.

Как показывает практика, распределение случайной величины невоз-

можно точно определить по результатам опытов. Полученные эксперимен-

тальные результаты дают возможность только строить различные гипотезы

о распределении случайной величины, например, гипотезу о том, что она

распределена нормально. Поэтому возникает задача проверки гипотез. Эта

задача состоит в том, чтобы определить, насколько согласуется та или

иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспе-

риментальными данными. Эта задача тесно связана с задачей определения

доверительных областей для плотности или функции распределения. Однако

она имеет следующие особенности. Проверяя гипотезу о нормальном расп-

ределении, по той же выборке обычно оценивают математическое ожидание

и ковариационную матрицу (дисперсию в случае одномерного распределе-

ния) случайной величины. Вследствие этого гипотетическое распределение

оказывается само случайным - функцией случайных результатов опытов.

Это и отличает задачу проверки гипотез о распределении от задачи опре-

деления доверительных областей для распределений. И только в отдельных

случаях может возникнуть задача проверки гипотезы о том, что случайная

величина подчинена вполне определенному закону распределения, не зави-

сящему от неизвестных параметров.

Для проверки гипотез о распределении применяются различные крите-


- 95 -

рии согласия. Наиболее удобным и универсальным критерием является кри-

терий 7c 52 0 (хи-квадрат) К.Пирсона. Он совершенно не зависит от распреде-

ления случайной величины и от ее размерности. Критерий Пирсона основан

на использовании в качестве меры отклонения экспериментальных данных

от гипотетического распределения той же величины, которая служит для

построения доверительной области для неизвестной плотности, с заменой

неизвестных истинных значений вероятностей попадания в интервалы веро-

ятностями, вычисленными по гипотетическому распределению.

Посмотрим использование статистического метода на примере статис-