Смекни!
smekni.com

Анализ и синтез систем автоматического управления и исследование нелинейной системы (стр. 3 из 7)

Рисунок 1.3.4.1 — годограф Найквиста

При стремлении частоты в бесконечность, годограф приходит в начало координат, закручиваясь по часовой стрелке, и не охватывает точку с координатами (–1 ; j0), что свидетельствует об устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой системы.

Все критерии оценки устойчивости показали, что система устойчива и в замкнутом, и в разомкнутом состоянии.

1.3.5 Построение области устойчивости САУ.

Характеристическое уравнение замкнутой системы с общим коэффициентом усиления, принятым переменным (k), имеет вид:

Выполним преобразование

:

D-разбиение в плоскости одного параметра выполняется исходя из условия равенства нулю действительной части характеристического уравнения (полюс на мнимой оси, что соответствует колебательной границе устойчивости системы). Однако, для наглядности представления, график D-разбиения строится на комплексной плоскости. Также, для удобства и наглядности, при построении D-разбиения, учитывают как положительные, так и отрицательные значения частот.

В данном случае, характеристическое уравнение решается относительно коэффициента усиления k:

Действительная часть:

Мнимая часть:

На графике D-разбиения наносится штриховка в сторону устойчивой области.

Рисунок 1.3.5.1 — D-разбиение

Таблица 1.3.5.1 — Данные для построения D-разбиения

ω

0

2

10

15

20

25

30

40

45

50

60

Ud(ω)

-10

-8

-2

8

22

40

62

118

152

190

278

Vd(ω)

0

-8.88

-17.04

-23.76

-28.3

-30

-28.1

-10.56

6.48

30

99.4

Как видно, вся плоскость по параметру K разбивается на три зоны, разделяемые точками на оси Ud(ω) с абсциссами:

Первая область — (–∞ ; –10);

вторая область — (–10 ; 190,666667);

третья область — (190,666667 ; +∞).

Так как исходный коэффициент усиления системы, равный 10, находится во второй области устойчивости, можно заключить, что это — область, в которой данная САУ будет устойчива, и штриховку вдоль кривой, описанной графиком D-разбиения, следует нанести в сторону этой области.


1.4 Построение переходного процесса системы методом трапеций

Выполняем построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 1.4.1).

Рисунок 1.4.1 — ВЧХ замкнутой САУ.

Таблица 1.4.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы

ω

0

2

10

21

25

30

50

70

100

120

Uз(ω)

5

4.92

2.76

-1.43

-1.67

-1.49

-0,54

-0,21

-0.64

-0.034


Разбиваем ВЧХ на три трапеции.

Рисунок 1.4.2 — Разбивка ВЧХ на трапеции.

Синим цветом выделен контур первой трапеция, зелёным – второй, розовым – третьей.

Определяем параметры трапеций: высоту и частоты начала и окончания наклонной стороны (

и
соответственно).

Для наглядности, совместим трапеции основаниями с осью частот.

Рисунок 1.4.3 — Трапеции, совмещённые по оси частот.

На основании полученных результатов, строим таблицу.

Таблица 1.4.2 — Параметры трапеций

1 трапеция

2 трапеция

3 трапеция

Wd =

1.25

Wп =

25

Wd =

25

Wп =

50

Wd =

50

Wп =

100

Х =

0,05

R0 =

6.67

Х =

0,5

R0 =

-1.13

Х =

0,50

R0 =

-0,54

В таблице h-функций находим соответствующую каждому

функцию
. Искомую составляющую
получаем из этой функции путём умножения ординат
на величину
. Время
получаем как частное от деления величины
на
.
;
.

Таблица 1.4.3 — Значения для построения переходного процесса.

t табл,

h табл,

t

h1(t)

t табл,

h табл,

t

h2(t)

t табл,

h табл,

t

h2(t)

0

0,0000

0,0000

0,0000

0

0,0000

0,0000

0,0000

0

0,0000

0,0000

0,0000

0,5

0,1760

0,0200

1,1733

0,5

0,2400

0,0100

-0,2704

0,5

0,2400

0,0050

-0,1296

1

0,3400

0,0400

2,2667

1

0,4610

0,0200

-0,5194

1

0,4610

0,0100

-0,2489

1,5

0,4940

0,0600

3,2933

1,5

0,6650

0,0300

-0,7492

1,5

0,6650

0,0150

-0,3591

2

0,6280

0,0800

4,1867

2

0,8330

0,0400

-0,9385

2

0,8330

0,0200

-0,4498

2,5

0,7390

0,1000

4,9267

2,5

0,9670

0,0500

-1,0895

2,5

0,9670

0,0250

-0,5222

3

0,8280

0,1200

5,5200

3

1,0610

0,0600

-1,1954

3

1,0610

0,0300

-0,5729

3,5

0,8920

0,1400

5,9467

3,5

1,1150

0,0700

-1,2562

3,5

1,1150

0,0350

-0,6021

4

0,9380

0,1600

6,2533

4

1,1420

0,0800

-1,2867

4

1,1420

0,0400

-0,6167

4,5

0,9600

0,1800

6,4000

4,5

1,1380

0,0900

-1,2821

4,5

1,1380

0,0450

-0,6145

5

0,9770

0,2000

6,5133

5

1,1170

0,1000

-1,2585

5

1,1170

0,0500

-0,6032

5,5

0,9860

0,2200

6,5733

5,5

1,0920

0,1100

-1,2303

5,5

1,0920

0,0550

-0,5897

6

0,9820

0,2400

6,5467

6

1,0510

0,1200

-1,1841

6

1,0510

0,0600

-0,5675

6,5

0,9800

0,2600

6,5333

6,5

1,0180

0,1300

-1,1469

6,5

1,0180

0,0650

-0,5497

7

0,9790

0,2800

6,5267

7

0,9930

0,1400

-1,1188

7

0,9930

0,0700

-0,5362

7,5

0,9800

0,3000

6,5333

7,5

0,9740

0,1500

-1,0974

7,5

0,9740

0,0750

-0,5260

8

0,9850

0,3200

6,5667

8

0,9660

0,1600

-1,0884

8

0,9660

0,0800

-0,5216

8,5

0,9890

0,3400

6,5933

8,5

0,9660

0,1700

-1,0884

8,5

0,9660

0,0850

-0,5216

9

0,9970

0,3600

6,6467

9

0,9700

0,1800

-1,0929

9

0,9700

0,0900

-0,5238

9,5

1,0040

0,3800

6,6933

9,5

0,9750

0,1900

-1,0985

9,5

0,9750

0,0950

-0,5265

10

1,0090

0,4000

6,7267

10

0,9820

0,2000

-1,1064

10

0,9820

0,1000

-0,5303

10,5

1,0130

0,4200

6,7533

10,5

0,9870

0,2100

-1,1120

10,5

0,9870

0,1050

-0,5330

11

1,0150

0,4400

6,7667

11

0,9970

0,2200

-1,1233

11

0,9970

0,1100

-0,5384

11,5

1,0160

0,4600

6,7733

11,5

0,9970

0,2300

-1,1233

11,5

0,9970

0,1150

-0,5384

12

1,0150

0,4800

6,7667

12

0,9970

0,2400

-1,1233

12

0,9970

0,1200

-0,5384

12,5

1,0130

0,5000

6,7533

12,5

0,9970

0,2500

-1,1233

12,5

0,9970

0,1250

-0,5384

13

1,0120

0,5200

6,7467

13

0,9970

0,2600

-1,1233

13

0,9970

0,1300

-0,5384

13,5

1,0110

0,5400

6,7400

13,5

0,9980

0,2700

-1,1244

13,5

0,9980

0,1350

-0,5389

14

1,0110

0,5600

6,7400

14

1,0000

0,2800

-1,1267

14

1,0000

0,1400

-0,5400

14,5

1,0120

0,5800

6,7467

14,5

1,0020

0,2900

-1,1289

14,5

1,0020

0,1450

-0,5411

15

1,0120

0,6000

6,7467

15

1,0050

0,3000

-1,1323

15

1,0050

0,1500

-0,5427

15,5

1,0140

0,6200

6,7600

15,5

1,0080

0,3100

-1,1357

15,5

1,0080

0,1550

-0,5443

16

1,0150

0,6400

6,7667

16

1,0110

0,3200

-1,1391

16

1,0110

0,1600

-0,5459

16,5

1,0160

0,6600

6,7733

16,5

1,0110

0,3300

-1,1391

16,5

1,0110

0,1650

-0,5459

17

1,0160

0,6800

6,7733

17

1,0120

0,3400

-1,1402

17

1,0120

0,1700

-0,5465

17,5

1,0150

0,7000

6,7667

17,5

1,0090

0,3500

-1,1368

17,5

1,0090

0,1750

-0,5449

18

1,0150

0,7200

6,7667

18

1,0080

0,3600

-1,1357

18

1,0080

0,1800

-0,5443

18,5

1,0150

0,7400

6,7667

18,5

1,0060

0,3700

-1,1334

18,5

1,0060

0,1850

-0,5432

19

1,0150

0,7600

6,7667

19

1,0010

0,3800

-1,1278

19

1,0010

0,1900

-0,5405

19,5

1,0140

0,7800

6,7600

19,5

0,9980

0,3900

-1,1244

19,5

0,9980

0,1950

-0,5389

20

1,0130

0,8000

6,7533

20

0,9960

0,4000

-1,1222

20

0,9960

0,2000

-0,5378

20,5

1,0120

0,8200

6,7467

20,5

0,9950

0,4100

-1,1210

20,5

0,9950

0,2050

-0,5373

21

1,0110

0,8400

6,7400

21

0,9950

0,4200

-1,1210

21

0,9950

0,2100

-0,5373

21,5

1,0110

0,8600

6,7400

21,5

0,9960

0,4300

-1,1222

21,5

0,9960

0,2150

-0,5378

22

1,0110

0,8800

6,7400

22

0,9960

0,4400

-1,1222

22

0,9960

0,2200

-0,5378

22,5

1,0110

0,9000

6,7400

22,5

0,9970

0,4500

-1,1233

22,5

0,9970

0,2250

-0,5384

23

1,0110

0,9200

6,7400

23

0,9980

0,4600

-1,1244

23

0,9980

0,2300

-0,5389

23,5

1,0100

0,9400

6,7333

23,5

0,9990

0,4700

-1,1255

23,5

0,9990

0,2350

-0,5395

24

1,0100

0,9600

6,7333

24

1,0000

0,4800

-1,1267

24

1,0000

0,2400

-0,5400

24,5

1,0090

0,9800

6,7267

24,5

1,0000

0,4900

-1,1267

24,5

1,0000

0,2450

-0,5400

25

1,0080

1,0000

6,7200

25

1,0000

0,5000

-1,1267

25

1,0000

0,2500

-0,5400

25,5

1,0080

1,0200

6,7200

25,5

1,0000

0,5100

-1,1267

25,5

1,0000

0,2550

-0,5400

26

1,0070

1,0400

6,7133

26

1,0000

0,5200

-1,1267

26

1,0000

0,2600

-0,5400


При помощи функции линейной интерполяции linterp, встроенной в математический пакет MathCAD, находим функции переходных характеристик, соответствующих каждой из трапеций, и производим их сложение.