Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (стр. 1 из 2)
1. Краткое математическое описание методов расчёта
Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
(1)Для нерекурсивного цифрового фильтра
и уравнение принимает вид: 
(2)Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):
(3)Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение
, (4)где
– z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка
равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики 
: 
(5)Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4) z на
, получим комплексную частотную характеристику: 
(6)Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:
(7) 
(8)Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
(9) 
(10)Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования
. Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены: 
(11)Так как интервал определения
, то интервал определения 
. Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.Аналитически АЧХ будет записываться в виде:
(12)При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (
), либо антисимметричной ( 
). Учитывая, что порядок фильтра 
может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:1. N – нечётное, ИХ – симметричная
2. N – чётное, ИХ – симметричная
3. N – нечётное, ИХ – антисимметричная
4. N – чётное, ИХ – антисимметричная
цифровой фильтр выборка частотный
Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:
(13) 
(14)Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
(15) 
(16)Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:
(17)Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
(18) 
(19)При чётном N:
(20)При нечётном N:
(21)Подставляя вместо
, по выражениям (20) и (21) можно найти 
, а из (17) – .1.3 Метод наименьших квадратов
При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
после чего решается система уравнений:
и находятся коэффициенты Ск.Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
2.1 Расчёт методом частотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
| i | Значение импульсной характеристики | ||
| N=15 | N=25 | N=32 | |
| 012345678910111213141516171819202122232425262728293031 | 0,081-0,0130,025-0,052-0,3030,030,460,03-0,303-0,0520,025-0,0130,081 | 0,0014970,001756-0,02-0,007456-0,0075540,0280,061-0,0049050,034-0,048-0,297-0,0350,450,035-0,297-0,0480,034-0,0049050,0610,028-0,007454-0,007456-0,020,0017560,001497 | 0,001488-0,0085340,008698-0,0002560,003711-0,0110,015-0,007875-0,0012660,0530,0290,00090250,04-0,193-0,2240,3210,321-0,224-0,1930,040,00090250,0290,0530,001266-0,007875-0,015-0,011-0,003711-0,0002560,008698-0,00085340,001488 |
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты
, взятой с шагом 0,01 ( 
). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра. 
Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:
, (32) 
В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации
.Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки
График функции точности аппроксимации для N=25
Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
| Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ | ||
| N=13 | N=25 | N=32 |
| 0,125 | 0,082 | 0,049 |
2.2 Расчёт методом наименьших квадратов
2.2.1 Расчёт импульсной характеристики
Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.
Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов