Смекни!
smekni.com

Оптимальные линейные системы (стр. 2 из 3)

Выберем в качестве оптимизируемой линейной системы фильтр с характеристикой вида:


Тогда, очевидно,

Кроме того, с учетом 3.12.2 имеем:

.

Тогда полная СКО воспроизведения полезного сигнала:

Оптимальное значение

параметра
находим в результате решения уравнения:


откуда

С целью выявления физического смысла полученной зависимости введем в рассмотрение отношение сигнал/шум

на входе линейной системы. При этом средняя мощность
полезного сигнала
с учетом результатов 3.12.2 равна:

Среднюю мощность шума

на входе линейной системы определим как среднюю мощность «белого шума» в некоторой полосе частот
, занимаемой полезным сигналом:

где

определяется как половина ширины эквивалентного прямоугольника по формуле (см.3.6):

Подставляя рассматриваемую функцию

, получаем

Таким образом,

так что

Вычислим теперь величину минимальной СКО воспроизведения полезного сигнала, соответствующую оптимальному выбору полосы

рассматриваемой линейной системы. В области
имеем:

Тогда минимальная относительная СКО воспроизведения полезного сигнала равна

Соответственно в области

когда
имеем:

4. Оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум

Рассмотрим, аналогично 1, обработку сигнала

на фоне «белого шума»
, по-прежнему используя в качестве критерия оптимальности критерий максимума отношения
квадрата мгновенного значения сигнала
к средней мощности
шума на выходе системы. В отличие от 1, будем полагать форму сигнала
произвольной, а характеристику
соответствующей линейной системы неизвестной. С учетом результатов 1 и 3 имеем:

В силу неравенства Коши получаем:

так что

Легко видеть, что отношение

достигает своего предельного значения, если

Линейная система с таким импульсным откликом называется фильтром, согласованным с сигналом

. При этом действительно


Выбирая

, где
‑ момент окончания сигнала
, имеем

так что

где

‑ энергия сигнала
.

Сравнивая полученный результат с отношением сигнал/шум на выходе линейной системы, рассмотренной в 4.1.1, легко видеть, что полная оптимизация в данном случае обеспечивает выигрыш в достигаемом значении отношения сигнал/шум, равный

дБ.

Функция передачи

согласованного фильтра в частотной области имеет вид:

где, при

,
‑ функция, комплексно сопряженная со спектром
сигнала
. В частности,
, откуда становится ясным физический смысл полученного результата: при мешающем воздействии в виде «белого шума» согласованный фильтр подавляет в большей степени относительно малые по амплитуде частотные составляющие сигнала
, в определенном смысле «жертвуя» ими в целях более эффективного подавления «белого шума».

Рассмотрим теперь ситуацию, когда шум на входе оптимизируемой системы не является «белым», т.е. является «окрашенным», или коррелированным, когда функция

имеет произвольный вид, отличный от
-функции.

Представим характеристику

рассматриваемой линейной системы в виде произведения

что соответствует каскадному соединению двух соответствующих линейных систем.

Выберем характеристику

так, чтобы она удовлетворяла соотношению:

Тогда на выходе первого каскада имеется сигнал

со спектром
и шум с энергетическим спектром
. Итак, рассматриваемая задача сводится к задаче оптимального приема сигнала
на фоне «белого шума» с энергетическим спектром
. Следовательно, оптимальная характеристика
должна соответствовать характеристике фильтра, согласованного с сигналом
: