Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания (стр. 3 из 5)

Докажем, что стационарное распределение изолированного узла в фиктивной окружающей среде имеет форму (3.1.15), (3.1.16). Полагая в (3.1.11)

получим:

откуда получаем

Из (3.1.10) для

находим, что

Для таких же

из (3.1.10) также следует, что

в частности,

Подставляя (3.1.20) в (3.1.18), а затем подставляя полученное равенство в (3.1.19), будем иметь для

Тем самым доказано (3.1.15).

Для

из (3.1.10) следует, что

Полагая в (3.1.11)

, получим:

откуда

Далее, из (3.1.10)

Подставляя (3.1.23) в (3.1.22), а затем полученное равенство в (3.1.21), для

будем иметь

Таким образом, (3.1.16) доказано для

Для

из (3.1.10) следует, что

Полагая в (3.1.11)

, получим:

откуда

Далее, из (3.1.10)

Подставляя (3.1.26) в (3.1.25), а затем полученное равенство в (3.1.24), получим (3.1.16), которое таким образом доказано и для

.

Так как

– неприводимый процесс Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем, то по эргодической теореме Маркова [5] он является эргодическим. Лемма 3.2 полностью доказана.

Основной результат 3.1 заключается в следующем.

Теорема 1.1. [46, C.326], [53, C.159–160], [56, C.325–326] Марковский процесс

эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в форме произведения (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия (3.1.13), (3.1.14). При этом множители в (3.1.9) имеют форму (3.1.15), (3.1.16), в которых полагается, что

, а постоянная

имеет вид:

где

.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний является неприводимым, то он эргодичен по эргодической теореме Маркова [5]. В [42] для замкнутых сетей с «заявкосохраняющими»

узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись ограниченно -квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия ограниченной -квазиобратимости для изолированного узла, которое в силу леммы 3.2 для узла с номером принимает форму (3.1.13), (3.1.14), имеет место первое утверждение теоремы.

Наконец, поскольку сумма всех стационарных вероятностей должна быть равна единице, то подставляя в равенство

вместо

произведение (3.1.9) и учитывая (3.1.15), (3.1.16), после очевидных преобразований получим

откуда вытекает (3.1.27). Теорема доказана.

Замечание 3.1. Если условия (3.1.13), (3.1.14) выполнены во всех узлах, то получается следующий алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Решается система линейных уравнений (3.1.1). В качестве используемого в дальнейшем набора

берется любой набор со строго положительными координатами.

2. Проверяется выполнение условий (3.1.13), (3.1.14).

3. По формуле (3.1.27) определяется постоянная нормировки

.

4. Определяются

с помощью соотношений (3.1.15), (3.1.16).

5. Находится стационарное распределение состояний сети

с помощью формулы (3.1.9).

Отметим также, что если в сети есть узлы, в которых условия (3.1.13), (3.1.14) не выполняются, то алгоритм существенно усложнится, так как в этих узлах нельзя применить (3.1.15), (3.1.16). Поэтому для таких узлов необходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (3.1.2) – (3.1.8). При этом изменится также выражение для подсчета нормирующей постоянной

. Известно, что наиболее трудоемким этапом при вычислении стационарного распределения для замкнутых сетей является этап подсчета нормирующей постоянной. Существуют различные численные процедуры, разработанные для ее вычисления, например, анализ средних значений [10], или алгоритм, рекуррентный по времени [4,10].

2. Примеры замкнутых сетей с переключением режимов

В 3.1 рассматривалась весьма общая модель замкнутой сети с многорежимными стратегиями. Здесь мы рассмотрим несколько полезных для различных приложений частных случаев этой модели. Во всех рассматриваемых ниже примерах предполагается, что для

выполняется при и при .