Смекни!
smekni.com

Оптимальність у системах керування (стр. 2 из 4)

– лінійний простір кусково-неперервних на
функцій.

Крайові умови задачі мають вигляд:

,
.

Потрібно знайти таке припустиме керування

, що переводить систему зі стану
у стан
, причому відповідний припустимий процес
доставляє мінімальне значення функціоналу

,

де функції

,
неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних
.

Вважатимемо, що функція Понтрягіна

для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора
. Виділимо із цих компонент групу з
керувань (з тих, за якими функція
лінійна) і позначимо їх через
, а інші
керувань зберемо у вектор
(він також може включати компоненти, за якими функція
лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:

,

де

.

Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:

.

Очевидно, що

,
. (8)

Припустимо, що процес

разом з розв’язком
спряженої системи

,
, (9)

задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу

має місце рівність

, (10)

або, враховуючи (10),

,
,
. (11)

Ця ситуація означає, що коефіцієнти при

на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань
називається особливим керуванням на відрізку
, процес
– особливим режимом, траєкторія
– траєкторією особливого режиму, а відрізок часу
– ділянкою особливого керування.

З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від

. Дійсно,
:

.

Тому в даній ситуації умова максимуму по

не дає жодної інформації про конкретні значення керувань
.

Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що

,

і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.

3. Лінійна задача оптимальної швидкодії

Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:

,
, (12)

де

,
,

,
– числові матриці розмірності
та
відповідно.

Область керування задачі

– замкнутий обмежений багатогранник в
:

,
, (13)

Якщо для будь-якого вектора

, паралельного будь-якому ребру багатогранника
, система векторів
,
, …,
(14)є лінійно незалежною, то багатогранник
задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).

Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто

.

Перепишемо формулу (10):

,
,

де

,
-і рядки матриць
і
.

Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:

(15)

Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від

, то функція
досягає максимуму за змінною
одночасно з функцією

.

Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:

,
,

або у векторній формі

. (16)

Позначимо через

. З теореми 2 випливає, що якщо
– оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок
системи (16), для якого в кожний момент часу функція
набуватиме максимального значення за змінною
: