Оптимальність у системах керування

СОДЕРЖАНИЕ: 1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу

оптимальність у системах керування


1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування

У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу

, тобто закон руху має вигляд:

, (1)

а цільовий функціонал дорівнює

. (2)

Тут функції

і
– неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних
,
,
.

Також вважатимемо, що момент часу

, який відповідає початковому стану
, відомий, а момент часу
проходження через кінцеву точку
не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.

Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної

. До закону руху при цьому додається рівняння

,

а до початкових умов – співвідношення

.

Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:

(3)

а функціонал

дорівнюватиме

, (4)

де

(відповідно до доданого у початкову систему рівняння).

Отже, неавтономну

-вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку
розширеного фазового простору з деякою точкою
на прямій, яка проходить через точку
паралельно осі
. Оскільки кінцеве значення
змінної
невідоме, то нова задача – це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.

Якщо в задачі оптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу

й кінцевий момент часу
, то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування
, що переводить фазову точку системи (2) зі стану
в момент часу
у стан
в момент часу
, причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу
попадання в точку
можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності
попадання в точку
може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна

, (5)

де

– загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, (
)-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов
набуває вигляду:

(6)

Має місце така теорема.

Припустимо,

,
– оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція
, що відповідає цьому процесу, така що:

1. Для будь-якого

функція
змінної
набуває максимального значення в точці
, тобто:


:
.

2.

,
.

Оскільки, як і раніше,

, то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка
.

Розглянемо випадок, коли при фіксованому

правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану
за заданий час
пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:

,
. (7)

Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція

досягала максимального значення для кожного
на оптимальному керуванні
і мала місце умова (7).

2 Поняття особливого керування

На практиці часто зустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійно залежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачах оптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщо функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можлива ситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора керування

обертається на нуль всюди на деякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції
за
не дозволяє однозначно визначити оптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування. Дослідимо її детальніше.

Розглянемо автономну задачу оптимального керування

,

Де

;
,
,
,
,

– довільна множина з
;

– лінійний простір кусково-неперервних на
функцій.

Крайові умови задачі мають вигляд:

,
.

Потрібно знайти таке припустиме керування

, що переводить систему зі стану
у стан
, причому відповідний припустимий процес
доставляє мінімальне значення функціоналу

,

де функції

,
неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних
.

Вважатимемо, що функція Понтрягіна

для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора
. Виділимо із цих компонент групу з
керувань (з тих, за якими функція
лінійна) і позначимо їх через
, а інші
керувань зберемо у вектор
(він також може включати компоненти, за якими функція
лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:

,

де

.

Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:

.

Очевидно, що

,
. (8)

Припустимо, що процес

разом з розв’язком
спряженої системи

,
, (9)

задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу

має місце рівність

, (10)


або, враховуючи (10),

,
,
. (11)

Ця ситуація означає, що коефіцієнти при

на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань
називається особливим керуванням на відрізку
, процес
– особливим режимом, траєкторія
– траєкторією особливого режиму, а відрізок часу
– ділянкою особливого керування.

З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від

. Дійсно,
:

.

Тому в даній ситуації умова максимуму по

не дає жодної інформації про конкретні значення керувань
.

Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що

,

і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.

3. Лінійна задача оптимальної швидкодії

Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:

,
, (12)

де

,
,

,
– числові матриці розмірності
та
відповідно.

Область керування задачі

– замкнутий обмежений багатогранник в
:

,
, (13)

Якщо для будь-якого вектора

, паралельного будь-якому ребру багатогранника
, система векторів
,
, …,
(14)є лінійно незалежною, то багатогранник
задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).

Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто

.


Перепишемо формулу (10):

,
,

де

,
-і рядки матриць
і
.

Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:

(15)

Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від

, то функція
досягає максимуму за змінною
одночасно з функцією

.

Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:

,
,

або у векторній формі

. (16)


Позначимо через

. З теореми 2 випливає, що якщо
– оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок
системи (16), для якого в кожний момент часу функція
набуватиме максимального значення за змінною
:

. (17)

Оскільки система (17) з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій

і
, то всі її розв’язки можна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачі максимізації функції
на множині
, знаходимо оптимальні керування
.

Для будь-якого нетривіального розв’язання

системи (11) співвідношення (14) однозначно визначає керування
, причому це керування кусково стале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника
.

Точки розриву оптимальної функції керування

відповідають зміні значення керування і називаються точками перемикання. Якщо
– точка перемикання, то ліворуч від неї керування має одне значення, наприклад,
, а праворуч інше –
.

Позначимо через

підмножину у
виду

. (18)

Якщо всі корені характеристичного рівняння матриці

з (14) є дійсними, то для будь-якого розв’язання
рівняння (18) кожна з функцій
є кусково сталою і має не більше ніж
перемикань (
– порядок системи (16)).

Керування

називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.

Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником

керування
є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання
системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).

Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану

у стан
, треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.

У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану

у стан
, але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника
, то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.

Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника

припустимих керувань. Якщо
і
– два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану
у стан
за час
і
відповідно, то
і
,
.

У теоремі має місце умова

.

Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану

у стан
, то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з
у
.

4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями

У задачі з рухомими кінцями або початковий стан

, або кінцевий стан
, або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини
і
, що містять точки
та
.

Гіперповерхня – це множина всіх точок

, які задовольняють співвідношенню

,

де

– скалярна диференційована функція. Якщо
– лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням

. (19)

Якщо

, то гіперплощина (19) є (
)-вимірним лінійним підпростором в
.

Будь-який (

)-вимірний підпростір
може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з
рівнянь із
невідомими, матриця якої має ранг
:


.

Такий лінійний підпростір називається

-вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь

де функції

, …,
диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює
, є
-вимірним гладким різноманіттям.

Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування

для системи із законом руху

,
,
,

яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану

на
-вимірному різноманітті
(
) у деякий стан
на
-вимірному різноманітті
(
) і надає найменшого значення функціоналу


.

Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при

, тобто коли різноманіття
і
вироджуються в точку.

Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.

Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних

із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії
, якщо вектор
ортогональний дотичній площини до різноманіття
в точці
, тобто

, (20)

де

– довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.

Якщо

,
– оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями
,
, то ненульова вектор-функція
, що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.

Розглянемо окремий випадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторії вільний (тобто

). Тоді умови трансверсальності зводяться до співвідношення
. Повний вектор спряжених змінних

визначається з точністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що

(відповідно до принципу максимуму
,
) і тоді

.

СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Видео

Анатолій Гриценко у програмі Новий погляд на ТРК РАІ 13 04 2017  [ВИДЕО]

Розробка систем керування контентом CMS Лекція 1 Частина 2  [ВИДЕО]

Абітурієнту Інститут енергетики та систем керування Львівської політехніки  [ВИДЕО]
У центрі надання адміністративних послуг запрацювала електронна система керування чергою  [ВИДЕО]
Абітурієнту Інститут енергетики та систем керування Львівської політехніки  [ВИДЕО]
Нова зброя для АТО з комп ютерною системою керування вогнем  [ВИДЕО]
Телеканал ВІТА новини 2016 11 15 Новітня система керування трамваями від інженерів початківців  [ВИДЕО]
Вправи з прийомів користування органами керування трактором Колківське ВПУ  [ВИДЕО]
Danfoss Link DEVIlink безпровідне управління нагрівальними системами і електроприладами  [ВИДЕО]
Можливості проекту Інформаційна система управління освітою ІСУО  [ВИДЕО]
Автоматизована система управління військами Славутич  [ВИДЕО]
Оптимальне керування Лекція 3 Частина 1  [ВИДЕО]

Copyright © MirZnanii.com 2015-2017. All rigths reserved.