регистрация /  вход

Частотно-модульовані сигнали (стр. 1 из 13)

1. ХАРАКТЕРИСТИКА ЧАСТОТНО МОДУЛЬОВАНИХ СИГНАЛІВ

1.1 Параметри частотно модульованих сигналів (девіація, коефіцієнт модуляції)

Загальний принцип частотної і фазової модуляції

Несуче коливання

характеризується значенням своїх параметрів – амплітуди, кругової частоти
і початкової фази
. Модуляція виражається в зміні за законом первинного сигналу с (t ) значень одного чи декількох параметрів коливання
, що перепишемо у вигляді [1]:

,(1.1)

де

– повна фаза гармонійного коливання.

Зміна кругової частоти чи початкової фази приводиться в остаточному підсумку до зміни повної фази (миттєвого кута) коливання (1.1). На цій підставі спосіб, заснований на зміні під впливом первинного сигналу с (t ) чи частоти, чи початкової фази коливання носить назву кутова модуляція. З цього також випливає, що кутова модуляція, по-своєму способу здійснення, поділяється на частотну і фазову. Структурна схема каналів зв’язку з частотною модуляцією (ЧМ) зображена рис. 1.1 [1], де

та сигнали з частотною модуляцією відповідно.

Рисунок 1.1 – Структурна схема каналу зв’язку з ЧМ


Одержимо аналітичні вирази для сигналів з ЧМ.

Загальне вираження сигналу з кутовою модуляцією має вигляд [1]:

,(1.2)

де повна фаза

.

При частотній модуляції змінюється частота модульованого коливання за законом [5]:

,(1.3)

де

– максимальне відхилення частоти від номінального значення частоти, що називається девіацією частоти; значення 2
іноді називають смугою коливання частоти.

Як відомо, зміна частоти

викликає зміну початкової фази, пропорційної інтегралу від
[1]:

.(1.4)

У свою чергу миттєва частота коливання змінюється за законом похідної від зміни фази [1]:

.(1.5)

Таким чином, при зміні частоти за законом (1.3) повна фаза модульованого коливання дорівнює [1]:


.(1.6)

І модульоване по частоті коливання одержує вид [1]:

.(1.7)

Коливання частотною модуляцією можна представити загальною формулою коливань з кутовою модуляцією [1]:

,(1.8)

де

– при частотній модуляції.(1.9)

Частотна модуляція

Сигнал з частотною модуляцією відноситься до інтегрованих систем модуляції і виражається [1]

.(1.10)

Шляхом звичайних перетворень отримаємо [1]:

;(1.11)

;

.(1.12)

Спектральна щільність і середня потужність перешкоди на виході ідеального приймача сигналів ЧМ виражаються, таким чином [1]:


;(1.13)

ε2 =

;(1.14)

Отже, перевищення сигналу над перешкодою на виході ідеального приймача сигналів ЧМ дорівнює [1]:

.(1.15)

Середня потужність сигналу ЧМ дорівнює

.

При цьому узагальнений виграш дорівнює [1]

(1.16)

(1.17)

1.2 Ширина спектру частотно модульованого коливання в залежності від коефіцієнта модуляції

Перепишемо коливання у вигляді [5]:

,(1.18)

при цьому прийнято φ0 =0, від значення якої форма енергетичного спектру не залежить.

Функція автокореляції коливання з кутовою модуляцією дорівнює [5]:


(1.19)

Позначивши

Отримаємо [1]:

,(1.20)

де

– нормована функції автокореляції
.

Таким чином, енергетичний спектр коливання з кутовою модуляцією[5]:

(1.21)

чи

, (1.22)

де

– енергетичний спектр, що відповідає функції автокореляції
.

Аналізуючи отримані вирази, легко прийти до висновку про те, що спектр коливання з кутовою модуляцією, так само як спектр сигналу АМ, має дві симетричні щодо середньої частоти ω0 бічні смуги частот (рис. 1.2) [1].


Рисунок 1.2 – Енергетичний спектр сигналу з кутовою модуляцією

Як видно, функція

зв’язана складною залежністю з моделюючою функцією с (t ). Тому що обчислення спектру коливання з кутовою модуляцією для випадкової моделюючої функції с (t ) сполучено зі значними математичними труднощами, тому обмежимося дослідженням спектрів сигналів з частотною модуляцією для найпростішої форми первинного сигналу с (t )=cosΩt у вигляді гармонійного низькочастотного коливання (модуляція одним тоном).

Сигнали з частотною модуляцією одним тоном виражаються формулами [2]:

,(1.23)

де

– індекс частотної модуляції.

Індекс модуляції

має фізичний сенс максимального збільшення початкової фази модульованого коливання. Користуючись співвідношенням з тригонометрії, отримаємо для частотної модуляції [1]:

.(1.24)

Скористаємося співвідношеннями з теорії Бесселевих функцій [1]:


,(1.25)

,(1.26)

де

– функція Бесселя першого роду n-го порядку від аргументу
.

Після підстановки і відповідних елементарних перетворень одержуємо:

чи

(1.27)

Тому що

, (1.28)

де

=3π/2 – постійна початкова фаза.

Для ψm =5 амплітудний спектр сигналу з кутовою модуляцією показаний на рис. 1.3 [1]. Форма спектру коливання з кутовою модуляцією істотно залежить від індексу модуляції ψm .

У загальному випадку спектр коливання з кутовою модуляцією є більш складним, ніж спектр коливання з амплітудною модуляцією, зокрема, теоретично він є необмежено широким.


Рисунок 1.3 – Спектр сигналу з кутовою модуляцією

Однак можна помітити, що складовими спектру з номерами n > ψm через малу їхню інтенсивність можна зневажити. У цьому випадку ширина спектру сигналу з кутовою модуляцією визначається співвідношенням [1]: