Нечеткие множества в системах управления (стр. 3 из 11)
АÈВ = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
А - В = АÇ
= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;В - А =
ÇВ = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
Наглядное представление операций над нечеткими множествами
Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.
На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны
, AÇ , AÈ .Свойства операций È и Ç.
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
- коммутативность; 
- ассоциативность; 
- идемпотентность; 
- дистрибутивность;AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;
AÇÆ = Æ;
AÇE = A, где E - универсальное множество;
AÈE = E;
- теоремы де Моргана.В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:
AÇ
¹Æ,AÈ
¹ E.(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
T(0,0)=0; T(mA, 1) = mA; T(1,mA) = mA - ограниченность;
T(mA, mB) £T(mC, mD), если mA£mC , mB£mD - монотонность;
T(mA , mB) = T(mB, mA) - коммутативность;
T(mA, T(mB, mC))= T( T(mA, mB), mC) - ассоциативность;
Простым случаем треугольных норм являются:
min(mA ,mB)
произведение mA×mB
max(0,mA +mB -1).
Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:
T(1,1) = 1; T(mA ,0) = mA ; T(0, mA) = mA - ограниченность;
T(mA, mB )³ T(mC, mD ), если mA³mC , mB³mD - монотонность;
T(mA , mB ) = T(mB , mA ) - коммутативность;
T(mA, T(mB , mC )) = T(T(mA , mB ), mC ) - ассоциативность.
Примеры t-конорм:
max(mA, mB)
mA + mB - mA×mB
min(1, mA + mB).
Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическое произведениеA и B обозначается A×B и определяется так:
"xÎE mA×B (x) = mA(x)mB(x).
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается
и определяется так:"xÎE
= mA(x) + mB(x)-mA(x)mB(x).Для операций {×,
} выполняются свойства: 
- коммутативность; 
- ассоциативность;A×Æ = Æ, A
Æ = A, A×E = A, A E = E 
- теоремы де Моргана.Не выполняются:
- идемпотентность; 
- дистрибутивность;а также A×
= Æ, A = E.Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.
Для примера докажем свойство:
. Обозначим mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab. Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A×(B C) ¹ (A×B) (A×C). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a2.
Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:
А×(BÈC) = (A×B)È(A × C);
А× (BÇC) = (A×B)Ç(A×C);
А
(BÈC) = (A B)È(A C);А
(BÇC)=(A B)Ç(A C).Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.
На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степеньa нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое множество Aa определяется функцией принадлежности mAa = maA(x). Частным случаем возведения в степень являются:
CON(A) = A2 - операция концентрирования,
DIL(A) = A0,5 - операция растяжения,
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что a 
mA(x)£1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:
maA(x) = amA(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2,.., An - нечеткие множества универсального множества E, а w1, w2, ..., wn - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности: