Пересечение двух отношений.
Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ÇR2 и определяется выражением:
mR1ÇR2(x,y) = mR1(x,y)ÙmR2(x,y)
.
Примеры:
1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.
Алгебраическое произведение двух отношений.
Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1×R2 и определяется выражением:
mR1×R2(x,y) = mR1(x,y)×mR2(x,y)
Алгебраическая сумма двух отношений.
Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1
R2 и определяется выражением: 
.Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:
R1Ç(R2ÈR3) = (R1ÇR2 )È(R1ÇR3),
R1È(R2ÇR3) = (R1ÈR2)Ç(R1ÈR3),
R1×(R2ÈR3) = (R1×R2)È(R1×R3),
R1×(R2ÇR3) = (R1×R2)Ç(R1×R3),
R1
(R2ÈR3) = (R1 R2)È(R1 R3),R1
(R2ÇR3) = (R1 R2)Ç (R1 R3).Дополнение отношения.
Дополнение отношения R обозначается
и определяется функцией принадлежности: 
(x,y) = 1 - mR(x,y).
Дизъюнктивная сумма двух отношений.
Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается RÅR и определяется выражением:
R1ÅR2 = (R1Ç
2)È( 1ÇR2) .Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.
Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности mR(x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:
По договоренности принимают mR(x,y)=0 при mR(x,y) = 0,5.
Проекции нечеткого отношения.
Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)®[0,1]. Первой проекцией
отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности: 
.Аналогично, второй проекцией
(проекцией на Y) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y, с функцией принадлежности: 
.Величина h(R) =
называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.Пример:
1-я проекция | = R1' | | R2' = | | | = h(R) |
| 2-я проекция |
Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения
Проекции R1¢ и R2¢ нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X´Y нечеткие отношения
и 
с функциями принадлежности: 
(x,y)= 
(x) при любом y, 
(x,y)= 
(y) при любом x,называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1' и цилиндрическим продолжением R2'.
Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.
Пример (продолжение):
Имеем:
= | | и
 = | | Сепарабельность отношений
Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R =
Ç , т.е. mR (x,y) = (x)Ç (y).Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R1'´R2'.
Пример (продолжение):
¹R, | т.е. исходное отношение R несепарабельно.
Композиция двух нечетких отношений
Пусть R1 - нечеткое отношение R1: (X´ Y)®[0,1] между X и Y, и R2 - нечеткое отношение R2: (Y´Z)® [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2·R1, определенное через R1 и R2 выражением
mR1·R2 (x,z) =
[mR1 (x,y)LmR1(y,z)],называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.
Примеры:
| | mR1·R2(x1, z1) = [mR1(x1, y1) LmR2 (y1, z1)] V [mR1(x1, y2) LmR2(y2, z1)] V [mR1(x1, y3) LmR2(y3, z1)] =