Функціональне відображення поведінки споживача

СОДЕРЖАНИЕ: Функціональне відображення поведінки споживача 1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін Припустимо змінюється доход ( ). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності

Функціональне відображення поведінки споживача


1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін

Припустимо змінюється доход (

). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності
. Нехай цими точками є точки
,
,
,
на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву
. Така крива називається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.

Рисунок 1. Рисунок 2

Припустимо, що змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2. Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)

.


Нехай

зменшується. Тоді точка
переходить у точку
, а точка
– у точку
– нову точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності
. Зменшимо ціну
. Тоді точка
переміститься в точку
, а точка
займе положення точки
й т.д. З'єднавши точки
,
,
,
,
одержимо криву ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох товарів при зміні ціни
. На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається в точці
.

Рисунок 3

Проаналізуємо більш детально процес переходу з точки

в точку
при зміні ціни
(рис. 4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через
, а змінену – через
. Проведемо пряму
паралельно прямій лінії цін
так, щоб вона мала точку дотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка
. Як у точці
, так й у точці
споживачеві забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривій байдужності. Перехід із точки
в
розглянемо поетапно: спочатку з
в точку
, потім із точки
у точку
. Перехід з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки
у точку
відповідає ефекту доходу й обумовлений зміною реального доходу при зміні цін.

Рисунок 4

2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача

При будь-яких додатних цінах

і доході
розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.

Очевидно, що цей розв’язок залежить від

і
, тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту
або в розгорнутому вигляді:


.

Цей запис означає, що при цінах

і доході
вибирається споживчих благ у кількостях
.

Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін

й
:

, де
.

Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.

Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів

і
. Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.

Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою

умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів
і оптимального множника Лагранжа
, тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту
та функції попиту та доходу
. Поставимо
й
в

або в розгорнутому вигляді

(1)

Позначимо

і
.

Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів
і
:

1. Розглянемо вплив зміни доходу
на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по
, тоді одержимо

(2)

де

і
відображають ступінь чутливості стосовно зміни
.

Позначимо

, тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:

,

де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто

, де
– вектор-рядок.

Припустимо, що

. Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні
одержимо

де

– алгебраїчні доповнення елементів
,
відповідно.

Якщо

, то
-й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли
-й товар називається малоцінним.


2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад
, на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по
, одержимо:

(3)

де

– дельта Кронекера
. Запишемо систему (3) у такому вигляді:

.

Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто

, тоді маємо при фіксованому
такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького

(4)

Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз

називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на
-й товар зміна попиту на
-й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на
-й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю
-го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).

Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх

та
таких, що
, тоді матриця
розміром
симетрична й від’ємно визначена, тобто
.

Можна встановити властивості цієї матриці.

Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну

, яка є результатом варіації ціни
, за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення
залишається незмінним.

При

товари
та
прийнято вважати взаємозамінюючими, при
– взаємодоповнюючими, а при
– незалежними.

3 Коефіцієнт еластичності

Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу

називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через
, маємо за означенням

,

де

– приріст аргументу;

– викликаний ним приріст функції.

Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.

При

маємо

.


Якщо функція

є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності

.

Функція попиту

є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність
функцій попиту на окремі товари
, кожна з яких є функцією від
змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує
частковий коефіцієнт еластичності.

Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.

Величини

, що показують, на скільки відсотків зміниться попит на
-й товар у розрахунку зміни ціни
-го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо
– то перехресними коефіцієнтами).

Показники

, що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.

4 Алгоритми розв’язання задачі споживання

Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.

Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки

, здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.

До першого класу відносять методи, в яких точки

, що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.

До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки

можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).

Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції в черговій точці

не стане дорівнювати нулю або ж поки

,

де

– достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.

Для чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.

Нехай потрібно знайти максимальне значення функції корисності

за умови
.

Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного програмування.

Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:

1. Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить області припустимих розв’язків задачі.

2. Знайдемо градієнт цільової функції в точці

.

3. Побудуємо лінійну функцію

.

4. Знайдемо максимум

при обмеженні
, тобто розв’яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор
, що доставляє максимум
.

5. Визначимо значення оптимального кроку обчислення

за формулою

.

6. Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою

.

7. Знайдемо значення

,
.

8. Порівняємо отримані

,
з точністю
. Якщо
, тоді
і алгоритм переходить до пункту 2, якщо
, тоді отримано оптимальний розв’язок задачі
і
при
.

СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Copyright © MirZnanii.com 2015-2017. All rigths reserved.