Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

Пошукова робота на тему: Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах. План Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

Пошукова робота на тему:

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

П лан

  • Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
  • Подвійний інтеграл в полярних координатах

Обчислення подвійного інтеграла

При одержимо подвійний інтеграл

.

1. Обчислення подвійного інтеграла

в декартових координатах

Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу

, (11.16)

Рис.11.4 Рис.11.5

де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.

Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .

На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині

Точками і границя розбивається на дві лінії: і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

: , : .

Так само точками і межа області розбивається на лінії і , рівняння яких:

.

Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої в область , а точка - точкою виходу із області. Із рівняння ліній і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють і . Отже, інтеграл

дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:

. (11.17)

Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від , якщо .

Рис.11.6

Замінюючи у формулі (11.16) її виразом (11.17), дістаємо

або в зручнішій формі

. (11.18)

Міняючи і місцями, можна вивести й формулу:

. (11.19)

З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

1. Спроектувати область на вісь (знайти точки і ).

2. Провести пряму, паралельну осі , яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння і .

3. Розставити межі інтегрування за змінною і змінною в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

Зауваження . Якщо область неправильна в напрямі осі , то необхідно таку область розбити прямими , паралельними , на кілька правильних областей.

За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад . Обчислити подвійний інтеграл

,

де область обмежена лініями (рис. 11.7).

Р о з в ’я з о к. В напрямі осі область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: . Крива входу

Рис.11.7

Крива входу описується рівнянням , а лінія виходу - рівнянням . За формулою (11.18) маємо:

.

Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області: і (на рис. 11.7 області відповідає фігура , а області - трикутник ). Тоді:

.

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах

Віднесемо площину, в якій задана область , до полярної системи координат . Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю . Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами .

Область інтегрування розіб’ємо на елементарні області двома системами координатних ліній: (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа області буде:

,

або

,

де - середній радіус між і .

Припускаючи, що функція неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо . Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

Рис.11.8 Рис.11.9

за змінними і , а тому, переходячи до границі, дістанемо

. (11.20)

Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат до полярних . Вираз називається елементом площі.

Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними і .

Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування , а сама область поміщена між променями та і координатні лінії зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих і .

Інтегруючи спочатку за у межах його зміни за сталою , тобто від до , а потім за від до , дістанемо

. (11.21)

У частинному випадку , якщо область інтегрування є частина кругового кільця , то межі інтегрування сталі за двома змінними

. (11.22)

2. Нехай полюс лежить в області інтегрування і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за , а потім за , дістаємо

, (11.23)

де - полярне рівняння межі області .

Частково, при , тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то

. (11.24)

Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

1) записати межу області у полярних координатах;

2) замінити аргументи та підінтегральної функції відповідно на і ;

3) замінити елемент площі на ;

4) розставити межі інтегрування по області ;

5) обчислити повторний інтеграл.

Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл де область частина кільця (рис. 11.10).

Р о з в ‘ я з о к.