Электрические цепи с нелинейными преобразователями и оперативная коррекция режима энергосистемы (стр. 1 из 3)
Хмельник С.И., к.т.н.
Институт "Энергосетьпроект", Москва
Рассматриваются электрические цепи с нелинейными преобразователями. Показывается, что в такимх цепях достигается оптимум некоторой выпуклой функции токов электрической цепи. Далее рассматривается задача оперативной коррекции режима энергосистемы и формулируется критерий качества оптимизации режима по активной мощности. Показывается, что этот критерий совпадает с вышеуказанной функцией с точностью до обозначений. Тем самым задача оперативной коррекции сводится к расчету определенной электрической цепи или к решению задачи выпуклого программирования. Указывается метод решения этой задачи
1. Простая электрическая цепь
Рассмотрим электрическую цепь с источниками тока, подключенными к узлам цепи, и источниками напряжения, включенным в ветви цепи. Такая электрическая цепь описывается следующей системой уравнений:
, (1) 
, (2)где
H - вектор токов, создаваемых источниками тока;
I - вектор токов в ветвях цепи;
E - вектор напряжений в ветвях цепи;
- вектор узловых потенциалов;N - матрица инциденций с элементами 1,0,-1;
R - диагональная матрица сопротивлений в ветвях цепи.
В этой системе уравнение (2) описывает первый закон Кирхгофа, уравнениe (1) - второй закон Кирхгофа.
Рассмотрим функцию
. (3)Необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (2) имеют вид уравнения (1), где
является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (2), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым 
. Далее имеем: 
(4)Отсюда следует, что функция (3), имеет глобальный минимум. Итак, минимизация функции (3) при ограничении в виде уранений первого закона Кирхгофа (2) приводит к уравнениям второго закона Кирхгофа (1). Следовательно, расчет электрической цепи постоянного тока эквивалентен поиску минимума функции (3) при ограничении (2). Другими словами электрическая цепь моделирует задачу квадратичного программирования.
Деннис в [1] показал, что все эти выводы справедливы и в том случае, когда электрическая цепь содержит диоды и так называемые трансформаторы постоянного тока, которые мы далее будем называть трансформаторами Денниса - ТД.
Диоды описываются неравенствами и равенством вида
(5) 
(6).
(7)Необходимые условия оптимума функции (3) при ограничениях вида (5) имеют вид (6, 7).
Трансформатор Денниса ТДсодержит две ветви - первичную с током
и напряжением 
и вторичную с током 
и напряжением .Он описываются уравнениями 
(8) 
(9)где h - коэффициент трансформации. Из этих уравнений следует, что
(10)т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями ТДв электрическую цепь, в сумме равны нулю. Необходимые условия оптимума функции (3) при ограничениях вида (8) имеют вид (9).
2. Обратимые преобразователи
Обратимый преобразователь (ОП) предложен в [2] и представляет собой устройство, содержащее две ветви - первичную с током
и напряжением и вторичную с током и напряжением 
. В нем (в отличие от ТД) токи ветвей зависят от напряжений смежных ветвей следующим образом: 
(1) 
(2)где
- дифференцируемая функция. Будем обозначать ОП так, как показано на фиг. 2.1. 
В частности, при , где h - константа (коэффициент преобразования), этот преобразователь является линейным - (ЛОП). В нем токи ветвей зависят от напряжений смежных ветвей следующим образом:
(3) 
(4)Отсюда следует, что
(5)т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями ЛОП в электрическую цепь, в сумме равны нулю (также как и в ТД).
Пример 2.1.. Конструкция ЛОП представлена на фиг. 2.2. Он состоит из двух источников тока VC-1 и VC-2, управляемых напряжением: напряжение на одном из них является управляющим для другого
В общем случае ОП является нелинейным (НОП).
Пример 2.2. В [3] рассмотрен синусно-косинусный преобразователь СКП, в котором
(6) 
(7)Известно, что для энергетических расчетов можно принять
(8) 
(9)В этом случае СКП может быть реализован на сумматорах и умножителях.
3. Электрическая цепь, содержащая ОП.
Уравнения электрической цепи, содержащей ОП, учитывают тот факт, что в некоторые ветви влючены первичные или вторичные ветви ОП, а некоторые из токов ветвей являются одновременно первичными или вторичными токами ОП [2]. Эти уравнения имеют следующий вид:
(1) (2) 
(3) 
(4)где
- диагональная матрица, в которой "1" находятся в элементах, соответствующих ветвям, состоящим из первичных цепей ОП, 
- диагональная матрица, в которой "1" находятся в элементах, соответствующих ветвям, состоящим из вторичных цепей ОП.Рассмотрим функцию
(5)Необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (2) и (3) имеют вид уравнений (1) и (4), где
является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (2), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым ,является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (3), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым
.Таким образом, расчет данной электрической цепи эквивалентен поиску безусловного оптимума функции
(6)Далее имеем:
, 
, 
, 
Отсюда следует, что функция (11) имеет глобальный минимум при
.
(7)Это имеет место, например, при
и, в частности, для ЛОП. Синусно-косинусный преобразователь СКП, рассмотренный в примере 2.2, удовлетворяет соотношению (7) при 
.Таким образом, при соблюдении условия (7) в электрической цепи достигается глобальный минимум некоторой выпуклой функции (6) токов I, потенциалов и напряжений E электрической цепи. Все эти выводы справедливы и в том случае, когда она содержит трансформаторами Денниса и диоды. Последнее означает, что математическая модель (1-4) электрической цепи с ОП может быть дополнена неравенствами вида (1.5-1.7):
(8)