регистрация / вход

Электрон в слое

В данном реферате рассмотрено определение функций и их решение.

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x , и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

ì-ћ2 /(2m)׶2 /¶x2 + U0 , x < -a

Ùï

H = í-ћ2 /(2m0 )׶2 /¶x2 , -a < x < a

ï

î-ћ2 /(2m)׶2 /¶x2 +U0 , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

ì¶2 YI /¶x2 + 2m/ћ2 ×(E - U0 )YI = 0 , x £-a

ï

í¶2 YII /¶x2 + 2m02 ×E×YI = 0 , -a £ x £ a

ï

î¶2 YIII /¶x2 + 2m/ћ2 ×(E - U0 )×YI = 0 , x ³ a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

YI (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

YI (x) = A×exp(n×x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

YII (x) = C×exp(i ×k×x) + D×exp(-i ×k×x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

YIII (x) = F×exp(-n×x).

Где

k = (2m0 ×E/ћ2 )1/2

n = (2m×(U0 -E)/ћ2 )1/2 .

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

YI (x=-a) = YII (x=-a)

YII (x=a) = YIII (x=a)

YI ¢(x=-a)/m = YII ¢(x=-a)/m0

YII ¢(x=a)/m0 = YIII ¢(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A×exp(-n×a) = C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)

m- 1 ×A× n×exp(-n×a) = i ×k×/m0 ×(C×exp(-i ×k×a) - D×exp(i ×k×a))

C×exp(i ×k×a) + D×exp(-i ×k×a) = F×exp(-n×a)

i ×k×/m0 ×(C×exp(i ×k×a) - D×exp(-i ×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).

Теперь составим определитель :

|exp(-n×a) -exp(-i ×k×a) -exp(i ×k×a) 0 |

|m- 1 ×n×exp(-n×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) 0 |

|0 exp(i ×k×a) exp(-i ×k×a) -exp(-n×a) |

|0 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2 - (k/m0 )2 )×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0 )×Cos(2×k×a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F×exp(-n×a)×{exp(i ×k×a) + exp(-3×i ×k×a) ×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 )}

D = C×exp(-2×i ×k×a)×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 )

A = exp(n×a)×(C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = RA ×F

C = RC ×F

D = RD ×F.

RA , RC , RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

YI (x) = F×RA ×exp(n×x)

YII (x) = F×( RC ×exp(i ×k×x) + RD ×exp(-i ×k×x)).

YIII (x) = F×exp(-n×x).

I1 + I2 + I3 = 1

Где

I1 = |F|2 ×|RA |2 ×òQ exp(2×n×x)×dx = |F|2 ×|RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(2×n×x) =

= |F|2 ×|RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a)

I2 = |F|2 ×{ òL |RC |2 ×dx + òL |RD |2 ×dx + RC ×RD * ×òL exp(2×i ×k×x)×dx +

+ RC * ×RD ×òL exp(-2×i ×k×x)×dx } = |F|2 ×{ 2×a×(|RC |2 + |RD |2 ) +

((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×RC ×RD * /(2×i ×k) +

+ i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×RC * ×RD /(2×k) }

I3 = |F|2 ×òW exp(-2×n×x)×dx = |F|2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a)

|F|2 = { |RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC |2 + |RD |2 ) +

((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×RC ×RD * /(2×i ×k) +

+ i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×RC * ×RD /(2×k) + (2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) }- 1 .

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

2 Y/¶x2 + 2m/ћ2 ×(E-U0 )Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0 ) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2 YI /¶x2 + 2m22 ×(E-U0 )YI = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

YI (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Где n = (2m2 (U0 -E) /ћ2 )1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2 YII /¶x2 + 2m12 ×EYII = 0 , a³x³ 0

его решение выглядит просто:

YII (x) = C×exp(i ×p×x) + D×exp(-i ×p×x).

Где p = (2m1 E/ћ2 )1/2

Рассмотрим область III:

2 YIII /¶x2 + 2m22 ×(E - U0 )YIII = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

YIII (x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).

Запишем граничные условия:

YI (x=0) = YII (x=0)

YII (x=a) = YIII (x=a)

YI ¢(x=0)/m = YII ¢(x=0)/m0

YII ¢(x=a)/m0 = YIII ¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |

|exp(i ×k×2a+n×a) exp(i ×k×2a-n×a) -exp(i ×p×a) -exp(-i ×p×a) |

|n/m2 -n/m2 -i ×p/m1 i ×p/m1 |

|n/m2 exp(i ×k×2a+n×a) -n/m2 ×exp(i ×k×2a-n×a) - i ×p/m1 ×exp(i ×p×a) i ×p/m1 ×exp(-i ×p×a) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m1 =4; m2 =1

0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639
0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778
0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137
2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728
5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653
1.023077302091622

a=10 U=10m1 =2m2 =1

0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642
0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714
1.656787195799296 2.098624192369327
2.593469359607937 3.141805331837109
3.744277072860902 5.887485640841992

a=10 U=10m1 =1m2 =1

0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061
0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778
2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094

a=10 U=10m1 =0.5m2 =1

0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146
0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631
1.895012565781256

a=10 U=10m1 =.25m2 =1

0.2898665804439349 4.30026851446248
2.479039415645616 1.132264393019809
ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий