Вклад ученого в теорию связи
Быховский Марк
Академик Колмогоров- HOMO UNIVERSALES
Труды А. Н. Колмогорова определили пути развития многих разделов математики ХХ века, и не только. Значительное влияние работы Колмогорова оказали и на формирование нескольких направлений в теории связи, в частности на развитие статистических методов анализа радиотехнических систем, а также теорий оптимальной линейной фильтрации и информации. Следует отметить, что два первых направления Колмогоров разрабатывал, развивая «математический язык» и не имея в виду какие-либо конкретные прикладные задачи. Проблемы теории информации привлекли его внимание после прочтения знаменитой статьи Клода Шеннона «Математическая теория связи».
Статистические методы исследования стали применяться в радиотехнике в середине 30-х годов. Их интенсивное использование в конце 40-х было обусловлено задачами обработки принимаемых сигналов в присутствии шумов. За счет повышения чувствительности приемных устройств планировалось расширить зону действия радиолокационных станций, аналогичные задачи приходилось решать и разработчикам систем радиосвязи.
В создании статистических методов анализа радиотехнических систем существенную роль сыграла одна из самых замечательных работ А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей», о которой П. С. Александров и А. Я. Хинчин написали так: «Во всей теории вероятностей ХХ столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь же основополагающим для дальнейшего развития науки и ее приложений, как эта работа Андрея Николаевича. В наши дни из нее развилась обширная область учения о вероятностях – теория случайных процессов, по своему объему и количеству приложений могущая соперничать с «классическими» частями теории вероятностей. Управляющие марковскими процессами дифференциальные «уравнения Колмогорова», строго и во всей широте математически обоснованные, содержали в себе в качестве частных случаев все те уравнения (Смолуховского, Чэпмена, Фоккера-Планка и др.), которые до тех пор кустарно, без достаточного основания и четкого выяснения лежащих в их основе предпосылок выводились и применялись физиками по отдельным поводам».
В теории связи «уравнения Колмогорова» позволяют по стохастическим дифференциальным уравнениям, описывающим процесс, протекающий в исследуемой системе обработки сигналов (в общем случае нелинейной), найти распределение вероятности перехода этого процесса из состояния в момент времени t в другое состояние в момент времени s > t.
В статистическую радиотехнику эти уравнения, по-видимому, были впервые введены одним из крупнейших советских ученых Р. Л. Стратоновичем.
В 40-х годах в радиотехнических системах начинают применяться нелинейные следящие устройства, работающие при действии флуктуационных помех. Одна из важнейших проблем, возникающих при конструировании таких систем, – срыв слежения. Явления срыва слежения наблюдаются, например, в системах автоподстройки частоты и фазы, которые широко применяются в современной радиотехнике,х приема сигналов с частотной модуляцией со сниженным порогом. Разработанный Колмогоровым математический аппарат оказывается адекватным тем сложным процессам, протекающим в следящих устройствах, и он начинает широко применяться для их анализа.
С развитием спутниковых и тропосферных систем связи в 60-х годах возросла актуальность повышения помехоустойчивости приема сигналов с частотной модуляцией. Широко применялись следящие демодуляторы: синхронно-фазовый детектор, демодулятор с обратной связью по частоте, следящий гетеродин и т. д. Теория помехозащищенности основных типов следящих демодуляторов, основанная на применении теории марковских случайных процессов и уравнений Фоккера-Планка–Колмогорова, получила развитие в конце 60-х – начале 70-х годов.
Важнейший раздел теории связи – теория оптимальной линейной фильтрации, т. е. выделение полезного сигнала из смеси сигнала и шума, поступающей на вход линейного фильтра. Теория позволяет синтезировать оптимальный линейный фильтр так, чтобы на его выходе сигнал воспроизводился с минимальной ошибкой. Применяется теория в задачах, связанных с созданием помехоустойчивых систем приема сигналов. При этом должно учитываться поведение смеси принятого сигнала и шума в прошлом, а также их статистические характеристики. Назначением оптимального фильтра является зачастую предсказание полезного сигнала (его экстраполяция) либо оценка его производной или интеграла по времени, а в общем случае на выходе оптимального фильтра должен воспроизводиться (с минимальной среднеквадратичной ошибкой) заданный линейный функционал от полезного сигнала.
В 1941 году Колмогоров опубликовал фундаментальную математическую работу «Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей», которая заложила математические основы теории оптимальной линейной фильтрации. Краткие ее тезисы были опубликованы в «Докладах» Французской академии наук еще в 1939 году. В США аналогичные идеи были разработаны во время Второй мировой войны американским ученым Норбертом Винером. В 1949 году секретный отчет о результатах выполненных им исследований был рассекречен и издан в виде монографии «Интерполяция, экстраполяция и сглаживание стационарных временных рядов».
Выдающиеся ученые современности академик А. Н. Колмогоров и Норберт Винер – авторы основных положений теории оптимальной линейной фильтрации, заложившей фундамент современной теории связи.
Большое значение для теории связи имели работы Колмогорова по теории информации, к проблемам которой он обратился в начале 50-х годов. Основные идеи были изложены в 1956 году в докладе «Теория передачи информации» на сессии АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. Математический фундамент теории был заложен в работах Колмогорова, Гельфанда, Яглома и Хинчина.
А. Н. Колмогоров показал, что наряду с вероятностным шенноновским подходом к определению количества информации возможны и во многих случаях более эффективны комбинаторный и алгоритмический. Поэтому был создан новый раздел науки – алгоритмическая теория информации.
***
Академик Колмогоров оставил человечеству огромное наследство. Память о великих людях увековечивают, присваивая их имена улицам городов, кораблям, научным институтам. Однако истинное бессмертие человек обретает, сливаясь с идеями, которые он открыл миру. Имя Пифагора навеки связано с теоремой, имя Колмогорова – с фундаментальными результатами современной математики. В теории вероятностей и математической статистике есть неравенство Колмогорова, уравнения Колмогорова–Чепмена, критерий Колмогорова–Смирнова.
Символично, что по инициативе Колмогорова в МГУ в 1956 г. открылся первый в нашей стране семинар по математической лингвистике, а в 1959-м на филологическом факультете было создано отделение прикладной лингвистики.
Колмогоров, подобно великим ученым прошлого Эйлеру и Бернулли, был математиком-универсалом, внесшим огромный вклад во многие ее разделы — математическую логику, гидромеханику, теорию множеств и функций, классическую механику. Он автор ряда основополагающих работ по стиховедению и теории связи.
Жизнь Андрея Николаевича Колмогорова – пример необычайно счастливой и созидательной жизни человека, рано осознавшего свое предназначение, человека, чей духовный рост неуклонно продолжался всю жизнь. Один из его учеников математик В. А. Успенский вспоминал: «Я никогда не встречал человека, ведущего более полноценную жизнь, чем Колмогоров. Профессиональные занятия математикой (и притом на высшем доступном человеческому интеллекту уровне) гармонически сочетались с чтением стихов, созерцанием картин, слушанием музыки, путешествиями, высокой физической культурой – именно культурой, а не спортом: состязательным спортом Колмогоров не занимался никогда».
Размышления о своем будущем сопровождали его всю жизнь. В 1943 г. он начинает вести дневник: «...записывать, что сделано, что хочется изменить в своей жизни, что нужно сделать, и потом проверять исполнение – идея не новая, но одинаково полезная и в 16, и в 40 лет... к сорока годам я стал живее чувствовать, как жизнь течет и уходит... насколько прожитое уже имеет самостоятельную ценность по сравнению с предстоящим далее...». Андрей Николаевич составляет план, который иронично называет «Календарный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия». В нем он намечает активную научную деятельность до своего 60-летия, а позже подготовку учебников для средней школы, полного собрания своих математических работ и написание «Истории форм человеческой мысли». Его биография показывает, что этому человеку удалось реализовать по крайней мере часть своих замыслов.
Колмогоров родился 25 апреля 1903 года в г. Тамбове. Его отец Николай Матвеевич Катаев был агрономом. Мать Мария Яковлевна Колмогорова скончалась при родах, и он был усыновлен и воспитывался ее сестрой Верой Яковлевной. Дед Колмогорова по материнской линии был очень крупным помещиком и предводитекой губернии, дед по отцовской линии – священником. Раннее детство Колмогоров провел в Ярославской губернии в родовом имении родителей его матери Туношне. На его воспитание наложили отпечаток, с одной стороны, обстановка богатого дворянского дома, а с другой – привычки либеральной интеллигенции.
В 1910 г. Колмогоров поступает в приготовительный класс частной гимназии Е.А. Репман в Москве, где царили демократические порядки: обучение мальчиков и девочек велось совместно, отсутствовала введенная царским правительством процентная норма приема евреев, осуществлялись многие педагогические эксперименты. Школа, к которой Колмогоров сохранил чувство глубокой признательности, способствовала формированию в учениках любви к знаниям. Он вспоминал: «...многие школьники состязались между собой в самостоятельном изучении дополнительных материалов, иногда даже с коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей... по математике я был одним из первых... но более серьезными научными увлечениями в школьное время для меня были сначала биология, а потом русская история». Колмогоров много читает, самостоятельно изучает труд К. А. Тимирязева «Жизнь растений» и высшую математику по энциклопедии Брокгауза и Ефрона. В школьные годы у А.Н. Колмогорова начали складываться глубокие дружеские связи и его отношение к дружбе между людьми как к высшей духовной ценности.