Смекни!
smekni.com

Аналогии в курсе физики средней школы (стр. 2 из 11)

=const (2)

Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' - мгновенное значение силы тока, qmax - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вы­вод о зависимости силы тока от величины за­ряда и находим значение максимальной силы тока:

;
Откуда

при q=0.

Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.

Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.

Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.

или

(3)

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.

Вычисляя обе производные получаем:

так как

, тогда

и

получаем

(4)

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

Выведем груз из положения равновесия, рас­тянув пружину на длину Хm(рис.2) и от­пустим. (Амплитудное растяжение пружины Xmдолжно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука
и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

Рис.2

Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xm£x£xm. По закону сохраненья энергии имеем:

(5)

где X0=mg/k - статическое растяжение пру­жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно­весия груза, обозначенного на рис. 2 пункти­ром). Учитывая, что

и
, получим уравнение колебаний

=соnst
(6)

Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.

Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колеба­ния груза на пружине не зависят от g и оди­наковы, например, на Земле и Луне.

Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.

По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:

;
;

получим

, (7)

Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения равновесия на длину дуги sm<<lи отпустим. Мгновен­ная высота подъема маятника

рис.3

так как при a<<1 можно считать

, а s=la. По закону сохранения энергии имеем:

, где

или

=const (8)

По аналогии с формулами (4) и (7) x®q®s;

;
получаем:

S``= -

(9)

Различие уравнений (1), (6) и (9) состоит только в обозначениях и физическом смысле входящих в них величин.

Если не предполагать sm<<l (соответственно am=

<<1 рад.), то получится слож­ное уравнение, решить которое в рамках школьного курса невозможно. Оно будет опи­сывать колебания, период которых зависит от амплитуды. Строго говоря, период колебаний маятника всегда зависит от am, однако при sm<<l рад. этой зависимостью можно пре­небречь.

Процессы в колебательном контуре станут понятнее учащимся при рассмотрении преобразований энергий, которые происходят при колебаниях, используя таблицу 2.

Время Колебательный контур Пружинный маятник
На конденсаторе находится заряд q0; энергия электрического поля Wэ максимальна. Энергия магнитного поля Wм равна нулю
;
Смешение X0 тела от положения равновесия — наибольшее; его потенциальная энергия Wп максимальна, кинетическая Wк равна нулю

;
При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку: возникает ток и связанное с ним магнитное поле. Вследствие самоиндукции сила тока нарастает постепенно; энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля
Тело приходит в движение, его скорость возрастает постепенно. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую
Конденсатор разрядился, сила тока I0 максимальна, энергия электрического поля равна нулю, энергия магнитного поля максимальнаWэ=0;
При прохождении положения равновесия скорость v0, тела и его кинетическая энергия максимальны, потенциальная энергия равна нулюWп=0;
Вследствие самоиндукции сила тока уменьшается постепенно; на конденсаторе начинает накапливаться заряд и
Тело, достигнув положения равновесия, продолжает движение по инерции с постепенно уменьшающейся скоростью и
Конденсатор перезарядился; сила тока в цепи равна нулю
; Wм=0
Пружина максимально растянута: скорость тела равна нулю
; Wk=0
Разрядка конденсатора возобновляется; ток течет в противоположном направлении; сила тока постепенно возрастает
Тело начинает движение в противоположном направлении с постепенно увеличивающейся скоростью
Конденсатор полностью разрядился; сила тока I0 в цепи максимальнаWэ=0;
Тело проходит положение равновесия, его скорость максимальнаWп=0;
Вследствие самоиндукции ток продолжает течь в том же направлении, конденсатор начинает заряжаться
По инерции тело движется к крайнему положению
Конденсатор снова заряжен, ток в цепи отсутствует, состояние контура аналогично первоначальному
; Wм=0
Смещение тела максимально, его скорость равна нулю и состояние аналогично первоначальному
; Wk=0

§2. Решение уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятниках.