Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и того же логического тупика, — и свои соображения он изложил в письме к Лиувиллю.
Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую трудную в мире математическую проблему.
После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые области. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведении относительно неразрешимой проблемы.
Новый импульс
В 1908 году Пауль Вольфскель, немецкий промышленник из Дармштадта, вдохнул в старую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась своим богатством и покровительством искусствам и наукам, и Пауль не был исключением. В университете он изучал математику и хотя свою жизнь Пауль посвятил строительству империи семейного бизнеса, все же он поддерживал контакт с профессиональными математиками и продолжал на любительском уровне заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли найти доказательство Великой теоремы Ферма. Вольфскель отнюдь не был одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с теоремой Ферма и вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.
История начинается с того, что Вольфскель впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.
Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях.
Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
Вольфскель разорвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в свете случившегося в ту ночь. После его смерти, последовавшей в 1908 году, завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому, кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1 000 000 фунтов стерлингов в современных масштабах) была той суммой, которую Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему, спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля:
О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной премии, Комиссии Вольфскеля не удалось вызвать особый интерес у серьезных математиков. Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадежным делом и решительно отказывались тратить свое драгоценное время на такое бесполезное занятие. Однако премии Вольфскеля удалось внедрить проблему Ферма в сознание совершенно новой аудитории — невидимой армии жаждущих знания молодых умов, жаждущих испытать себя на решении неприступной головоломки и не видящих ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с явно недостаточным багажом.
Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными. И хотя каждый из участников конкурса был убежден, что именно ему удалось решить проблему, пережившую столетия, но во всех присланных доказательствах неизбежно была какая-нибудь тонкая, а иногда и не очень тонкая — ошибка. Искусство теории чисел настолько абстрактно, что необычайно легко сойти с верного логического пути и незаметно заблудиться, даже впасть в абсурд. В Приложении 7 показана классическая ошибка такого сорта, которую легко может допустить энтузиаст-любитель.
Независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства, каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство. Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по 1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.
Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования, поскольку ему нужно было разбирать десятки ошибочных доказательств, поступавших к нему на стол каждый месяц. Чтобы справиться с ситуацией, профессор Ландау изобрел изящный метод, позволивший избавиться от докучливой работы. Профессор попросил напечатать несколько сотен карточек, на которых значилось:
| Уважаемый(ая) . . . . . . . .Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке ... . Из-за нее все доказательство утрачивает силу. Профессор Э. М. Ландау |
Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
Доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение нескольких лет. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить, какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее — неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на судьбах Великой теоремы Ферма.
Парадокс математики
Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, если Великая теорема Ферма неразрешима?! А вдруг Пьер де Ферма заблуждался, когда утверждал, что располагает доказательством? Если так, то доказательство Великой теоремы Ферма может оказаться не просто трудным, а невозможным. Если Великая теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пытались найти доказательство, которое не существует.
Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Если бы Великая теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т.е. она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.