Смекни!
smekni.com

Производная в курсе алгебры средней школы (стр. 4 из 4)

4-2. Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов, Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах производной.

Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это точки, в которых производная не существует, но функция может быть непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод исследования поведения функции – метод интервалов.

4-3. Схема исследования функций

Колмогоров:

1) Нахождение области определения

2) Проверка на четность / нечетность

3) Нахождение точек пересечения с осями

4) Нахождение промежутков знакопостоянства

5) Нахождение промежутков возрастания и убывания

6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности

Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: дифференциалом функции называют произведение производной на приращение аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту.

Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике: нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью производной принцип действия параболических телескопов.

5-2. Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

Заключение

Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим учебникам:

Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву наиболее часто используется в обычных школах.

Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.

В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала.

Литература

М. Я. Выгодский Справочник по высшей математике
И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов
И. М. Уваренков, М. З. Маллер Курс математического анализа,т.1
В. А. Дударенко, А.А. Дадаян Математический анализ
Н. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления
Т. И. Трофимова Курс физики
О. О. ЗамковА. В. ТолстопятенкоЮ. Н. Черемных Математические методы в экономике
А. С. СолодовниковВ. А. БабайцевА. В. БраиловИ. Г. Шандра Математика в экономике
Под редакциейА.М Колмогорова Алгебра и начала анализа
Ш. А. АлимовЮ. М. КолягинЮ. В. СидоровН. Е. ФедороваМ. И. Шабунин == << ==
М. И. Башмаков == << ==

Содержание:

Введение

Глава 1. Производная и ее применение

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

1-2. Понятие производной

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

2-2. Касательная плоскость к поверхности

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

3-2. Теплоемкость при данной температуре

3-3. Мощность

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

4-2. Эластичность спроса

4-3. Предельный анализ

5. Производная в приближенных вычислениях

5-1. Интерполяция

5-2. Формула Тейлора

5-3. Приближенные вычисления

Глава 2. Производная в школьном курсе алгебры

1. Структура учебников

2. Понятие производной

2-1. Определение производной

2-2. Геометрический смысл производной

2-3. Непрерывность функции и предельный переход

3. Вычисление производной

3-1. Правила дифференцирования

3-2. Производные элементарных функций

4. Исследование функций

4-1. Возрастание и убывание функций

4-2. Экстремумы функций

4-3. Схема исследования функций

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

5-2. Приближенные вычисления

Заключение

Список использованной литературы