Знаходження похідної функції

СОДЕРЖАНИЕ: ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.

ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій

МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.

І Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.

1)

=
=

2)

Рівняння шуканої дотичної у – у0 =

. Оскільки х0 = 1, у = х2 , то
і

Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1.

2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII.

II . Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником

На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у =

дорівнює
, тобто
.

Якщо покласти

, де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.

Якщо у формулі

покласти
, то одержимо

Нам уже відомо, що

. А як знайти похідну функції у = х5 , у = х20 тощо? Розглянемо функцію у= хn , де n –
.

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту

, тоді:

1)

2)

(Скориставшись формулою

3)

Звідси

Розглянемо функцію у = хn -1 , де

.

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту

, тоді

1)

2)

3)

=

Отже,

, де
.

Таким чином виконується рівність:

.

Виконання вправ

1. Знайдіть похідну функції:

а) у = х6 ; б) у = х8 ; в) у = х2

; г)
.

Відповідь: а) 6х5 ; б) 8х7 ; в) 7х6 ; г) 6х5 .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х-10 ; б) у = х2

; в)
; г)
.

Відповідь: а) -10х-11 ; б) -3х-4 ; в) -6х-7 ; г) -6х-7 .

ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій

Знайдемо похідну функції у=

. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту
, тоді:

1)

2)

3)

.

Отже

Аналогічно можна довести, що

Знайдемо похідну функції

.

Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту

, тоді:

.

.

Отже,

Аналогічно можна довести, що

Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.

VI . Підведення підсумків уроку

Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.

Таблиця

Таблиця похідних


V . Домашнє завдання

Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4).


ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Усне розв’язування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій

а) у – х10 ; б)

; в)
; г)
.

Відповідь: а) 10х9 ; б) -9х-10 ; в) -4х-5 ;ё г) 3х2 .

2) Знайдіть похідні функцій:

а)

в точці
; б)
в точці
;

в)

в точці
; г)
в точці
.

Відповідь: а) 0; б)

; в) 4; г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.

ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції

Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і

або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Доведення

Розглянемо функцію

у = f(x) + g(x).

Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту

. Тоді

,

.

Отже,

.

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і

, звідси
.

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто

.

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а)

;

б)

;

в)

.

Розв’язання а)

;

б)

.

в)

.

Відповідь: а)

; б)
в)
=
.

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х3 + х – х4 ; б)

;

в)

; г)
.

Відповідь: а)

; б)
; в)
;

г)

.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0 :

а)

;

б)

;

в)

.

Відповідь: а) 1; б)

; в) -1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:

а)

; б)
; в)
.

Відповідь: а)

; б)
; в)
.

ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і

, або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення . Розглянемо функцію

. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту
, тоді

1)

Оскільки

,
, то

.

2)

.

Отже,

.

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної:

.

Дійсно,

.

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а)

;

б)

;

в)

.

Розв’язування

а)

;

б)

;

в)

.

Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а)

; б)
;

в)

; г)
.

Відповідь: а) 6х-5; б)

;

в)

; г)
.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
;

в)

; г)
.

Відповідь: а)

; б)
;

в)

; г)
.

3. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
.

Відповідь: а)

; б)
.

IV . Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x)

, то функція
диференційована в цій точці і
.

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай

, тоді f(x)=у(х)
. Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку,
. Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у(х) значення

, тоді будемо мати:

.

Отже,

.

Приклад: Знайдіть похідні функцій

а)

; б)
.

Розв’язання

а)

.

б)

.

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
; в)
; г)
.

Відповідь: а )

; б)
;

в)

; г)
.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
; в)
; г)

Відповідь: а)

; б)
;

в)

; г)
.

V . Домашнє завдання

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).


ТЕМА УРОКУ : Похідна складеної функції

Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

2. Самостійна робота.

Варіант 1.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0 :

а)

, х0 =-1. (2 бали)

б)

.
(2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а)

. (2 бали)

б)

. (2 бали)

в)

. 42 бали)

Варіант 2.

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0 :

а)

, х0 =-1. (2 бали)

б)

.
(2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а)

. (2 бали)

б)

. (2 бали)

в)

. 42 бали)

Відповідь: В-1. 1. а)

; б) -1

2. а)

; б)
; в)

В-2. 1. а)

; б) 1

2. а)

; б)
; в)
.

ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою

.

Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=

, а потім за значенням u обчислити у=
.

Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть

.

Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції

в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію

. Вона є складною із функцій
, де
- внутрішня функція,
- зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складні функції

і
, якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції

і
, із яких побудована складна функція
:

а)

б)

в)

г)

Відповіді: а)

б)

;

в)

г)

.

2. Дано функції:

. Побудуйте функції:

а)

; в)
; в)
;

г)

; в)
; є)
.

Відповідь: а)

; б)
;

в)

; г)
;

д)

є)

У складній функції

присутня проміжна змінна
. Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції

знаходиться за формулою
, де
, або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція

має похідну в точці х0 , а функція
має похідну в точці u0 =
, тобто існують границі
,
і
.

Нехай, аргументу х0 надано приросту

, тоді змінна u набуде приросту
. Поскільки
одержала приріст
, то функція у одержить також приріст
. Приріст
зумовив виникнення приросту
і
.

Подамо

. Перейдемо до границі при
(при цьому
).

або
.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3 -1)5 .

Розв’язання

у = (3х3 -1)5 – складена функція

, де u =3х3 -1, тоді
,
.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3 -1:

.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
;

в)

; г)
.

Розв’язання

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

Виконання вправ.

1. знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х+2)50 ; б) (6-7х)10 ;

в)

; г)
.

Відповідь: а)

; б)
;

в)

; г)
.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)
;

в)

; г)
.

Відповідь: а)

; б)
;

в)

; г)
.

ІІІ. Підведення підсумків уроку

При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.

Таблиця диференціювання

, де

IV . Домашнє завдання

Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).


ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.

6)

;

10)

;

11)

;

22)

.

2. Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.

Таблиця

1

2

3

4

1

2

3

=

4


ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай

– величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута
приблизно дорівнює 340 (рис.29), а при а = 2,
=470 .

у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута

зростає і приймає значення від 340 до 470 . Отже, існує таке значення
, при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення
прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459...
0

Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450 .

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції

в точці х0 дорівнює
=1. Отже,
.

Знайдемо тепер формулу похідної функції

.

Нехай аргумент х0 одержав приріст

, тоді:

1)

2)

3)

.

Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції

, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

.

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5х ; б) у = е3-2х ; в)

; г)
.

Розв’язання

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції

Розглянемо функцію

. За основною логарифмічною тотожністю:
для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:

, або
.

Звідси

.

Отже,

Знайдемо похідну функції

. Так як
, то

.

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а)

; б)
;

в)

; г)
.

а)

;

б)

;

в)

;

г)

=

.

Виконання вправ.

№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).

IV . Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції

, де

Ми довели, що

для
.

Розглянемо функцію

, де
.

Знайдемо похідну цієї функції:

.

Отже,

для всіх
.

ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ

Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.

№ 2. 3) -е ; 5)

; 7)
; 9)
; 11)

13)

; 15)
; 17)
.

№ 8. 1) 100х99 ; 3)

; 5)
; 7) -20х19 ; 9)
;

11)

.

2. Усне розв’язування вправ.

Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій

1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.

2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.

3) Знайдіть похідну функції

та обчисліть її значення, якщо
.

.

.

Відповідь: 4.

4) Тіло рухається за законом

.

Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).

Розв’язання

;

.

Відповідь:

.

ІІІ. Домашнє завдання

Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.


ТЕМА УРОКУ : Тематична контрольна робота № 1

Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.

Варіант 1

1. Знайдіть похідну функції:

а)

. (2 бали )

б)

. (2 бали )

в)

. (2 бали )

г)

. (2 бали )

2. Знайдіть похідну функції

та обчислити її значення, якщо
. (2 бали )

3. Точка рухається за законом

. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 2

1. Знайдіть похідну функції:

а)

. (2 бали )

б)

. (2 бали )

в)

. (2 бали )

г)

. (2 бали )

2. Знайдіть похідну функції

та обчислити її значення, якщо
. (2 бали )

3. Точка рухається за законом

. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 3

1. Знайдіть похідну функції:

а)

. (2 бали )

б)

. (2 бали )

в)

. (2 бали )

г)

. (2 бали )

2. Знайдіть похідну функції

та обчислити її значення, якщо
. (2 бали )

3. Точка рухається за законом

. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 4

1. Знайдіть похідну функції:

а)

. (2 бали )

б)

. (2 бали )

в)

. (2 бали )

г)

. (2 бали )

2. Знайдіть похідну функції

та обчислити її значення, якщо
. (2 бали )

3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом

. Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с (
вимірюється в радіанах). (2бали)

Відповідь: В-1. 1. а)

; б)
;

в)

,; г)
.

2.

,
.

3. 10

В-2 1. а)

; б)
;

в)

,; г)
.

2.

,
.

3. 9

В-3. 1. а)

; б)
;

в)

,; г)
.

2.

,
.

3. 35

В-4. 1. а)

; б)
;

в)

,; г)
.

2.

,
.

3. 20

СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Copyright © MirZnanii.com 2015-2017. All rigths reserved.