регистрация / вход

Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при

Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии Выпускная квалификационная работа

Информационные технологии как средство формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии

Выпускная квалификационная работа

по специальности 050201 «Математика»

С ОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.1 Анализ литературы по проблеме исследования

1.2 Психологические закономерности развития пространственного воображения

1.3 Особенности использования информационных технологий при изучении стереометрии

1.4 Методика обучения школьного курса геометрии с использованием информационных технологий

1.5 Формирование пространственного воображения учащихся в компьютерной предметной среде

Глава 2. ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДИКИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ

2.1 Констатирующий срез

2.2 Формирующий эксперимент

2.3 Контрольный срез

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Характерной чертой развития школьного образования является непрерывный поиск эффективных форм и методов обучения, путей совершенствования образовательного процесса в целом. Это связано с повышением требований, предъявляемых к выпускникам школ, способным грамотно и эффективно действовать в высокоразвитой информационной среде, умеющим адаптироваться при непрерывно изменяющихся условиях. Исходя из этого, возникает необходимость повышения качественного уровня обучения, совершенствования методик преподавания школьных дисциплин. Значительное место в системе формирования интеллектуальной и творческой личности школьника отводится изучению геометрии как дисциплины, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренческим потенциалом. Она, как ни какая другая, развивает логическое мышление и пространственное воображение школьников, имеет большие возможности для показа силы научных методов в познании окружающего мира, выяснения процесса формирования понятий и путей возникновения, представляет важную составляющую математики и является одним из основных компонентов общечеловеческой культуры.

Для достижения высокого уровня геометрической подготовки учащихся необходимо обеспечить возможность приобретения ими глубоких фундаментальных знаний, развития пространственного воображения, стремления к самостоятельному изучению нового материала. Решению этой проблемы способствует внедрение в учебный процесс новых информационных технологий, являющихся эффективным средством управления познавательной деятельностью и формирования пространственных представлений учащихся.

Результаты вступительных экзаменов по математике в высшие учебные заведения показывают, что уровень геометрической подготовки школьников низкий, значительное число абитуриентов не справляются с решением геометрических задач. Данные наблюдения выявляют ряд существенных недостатков, к которым относятся: формализм в усвоении фундаментальных знаний, недостаточное развитие пространственного воображения и логического мышления, отсутствие целостного представления о сущности геометрических объектов, неумение применять имеющиеся знания в нестандартных ситуациях. Именно поэтому актуальной становится такая организация процесса обучения геометрии, при котором овладение знаниями происходит с использованием новых информационных технологий. При их использовании открываются огромные возможности изменения и совершенствования методики отбора необходимой теоретической и практической информации, которая способствует улучшению формирования пространственного представления школьников на уроках геометрии. Такой процесс обучения характеризуется индивидуальным и дифференцированным подходом, приводят к изменению содержания и характера деятельности между учителем и учеником.

Таким образом, мы пришли к следующим противоречиям между:

- развитием информационных технологий и недостаточностью методических решений по их использованию с целью формирования пространственного воображения школьников при обучении стереометрии в 10-11 классах;

- необходимостью формирования пространственных представлений при обучении стереометрии и невозможностью его осуществления без наличия определенных знаний и умений учащихся.

Указанные противоречия определяют проблему исследования : какова методика формирования пространственного воображения школьников 10-11-х классов с использованием информационных технологий.

Объект: процесс обучения геометрии учащихся старших классов общеобразовательной школы.

Предмет: методика формирования пространственного воображения школьников 10-11 классов в процессе преподавания стереометрии с использованием информационных технологий.

Цель исследования: разработать методику формирования пространственных представлений школьников 10-11 классов в процессе преподавания стереометрии с использованием информационных технологий.

Гипотеза исследования: процесс формирования пространственного воображения школьников 10-11 классов при обучении стереометрии будет наиболее эффективным при условии:

1. Применения информационных технологий на различных этапах урока геометрии (обучение, контроль, практические и лабораторные задания).

2. Использования в процессе обучения программного обеспечения, влияющего на развитие пространственных представлений школьников.

3. Разработки комплекса учебно-методических задач с компьютерной поддержкой, направленных на развитие пространственного воображения школьников.

Задачи:

1. Изучить степень разработанности изучаемой проблемы в психолого-педагогической, методической, учебной и специальной литературе.

2. Провести анализ современного состояния исследуемой проблемы в практике школьного геометрического образования.

3. Проанализировать структуру и содержание процесса обучения стереометрии.

4. На основе анализа выявить особенности организации деятельности школьников с использованием компьютерных программ.

5. Рассмотреть некоторые психолого-педагогические принципы развития пространственного воображения.

6. Определить способы и конкретные приемы активизации пространственного воображения на уроках математики у учащихся старших классов.

7. Обосновать влияние информационных технологий на развитие пространственных воображения школьников на уроках стереометрии.

8. Разработать комплекс специальных учебно-методических задач с компьютерной поддержкой, направленных на развитие пространственных представлений школьников.

9. Разработать дидактическую модель формирования

10.Провести опытно – экспериментальную работу, направленную на определение эффективности использования информационных технологий в формировании пространственного воображения школьников.

Методы:

1. Теоретический анализ педагогической, психологической, методической, учебной и специальной литературы по исследуемой проблеме.

2. Педагогическое наблюдение.

3. Обобщение педагогического опыта.

4. Опрос студентов и преподавателей.

5. Педагогический эксперимент и математические методы его обработки.

6. Анализ имеющихся программных продуктов в области геометрии.

7. Моделирование отдельных уроков.

Теоретико-методологической основой работы являются исследования в области:

- философии и методологии математического познания и математического образования; (К.А. Абульханова-Славская, Т.К. Ахаян, Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, Г. А. Бордовский, А. А. Вербицкий, П. Я. Гальперин, В. В Давыдов, М.А. Данилов, И.К. Журавлев, Л.В. Занков, В.В. Краевский, B.C. Леднев, А.Н.Леонтьев, И.Я. Лернер, С. Пейперт, Ж. Пиаже, П.И. Пидкасистый, М.Н. Скаткин, Ю.Ф. Фоминых, В.А. Якунин и другие);

- создания и использования средств обучения и учебно-материальной базы (Л.С. Зазнобина, B.C. Леднев, А.А. Макареня, Т.С. Назарова, Е.С. Полат, Л.П. Пресман, Н.А. Пугал, И.В. Роберт, Н.Н. Суртаева, С.Г. Шаповаленко и другие);

- теории методологии и практики информатизации образования (Н.В. Апатова, А. Борк, Ю.С. Барановский, Я.А. Ваграменко, А.П. Ершов, В.А. Извозчиков, К.К. Колин, А.А. Кузнецов, В.В. Лаптев, М.П. Лапчик, Н.И. Пак, В. Г. Разумовский, И. В. Роберт, И. А. Румянцев и другие);

- теории и методики обучения математике (И.К. Андронов, В. В Афанасьева, И.И. Баврин, Н.Я. Виленкин, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Коля-гин, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Е.С. Петрова, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Г. Г. Хамов, Р. С. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, СИ. Шварцбурд, Л. В. Шкерина, И. С. Якиманская и другие).

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. Представлены сущность и характеристика пространственного воображения, выделены его критерии (владение мыслительными операциями: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование и т.д.; сформированность ниже перечисленных умений) и показатели (глубина, широта, гибкость, устойчивость, полнота, динамичность и целенаправленность).

2. Разработана и теоретически обоснована дидактическая модель формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии с использованием информационных технологий.

3. Разработана методика использования компьютерных обучающих программ при изучении курса стереометрии в 10-11 классах общеобразовательной школы.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что для учащихся 10-11 классов:

- внедрена дидактическая модель формирования пространственных представлений школьников при проведении уроков по геометрии;

- созданы и апробированы методические разработки по темам «Цилиндр», «Конус» и «Сфера и шар» для учителей и школьников.

Результаты исследования могут быть использованы при формировании пространственного воображения школьников в процессе изучения других разделов геометрии, а также смежных естественнонаучных дисциплин.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

1. Проведен педагогический анализ геометрической подготовки учащихся старших классов общеобразовательных школ в условиях информатизации общества, в результате которого выявлены причины, препятствующие эффективному развитию пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий в процессе обучения геометрии;

2. Выделены дидактические требования к использованию информационных технологий как средства формирования пространственного воображения при изучении школьного курса стереометрии;

3. Разработана методика использования формирования пространственного воображения школьников при изучении стереометрии с использованием информационных технологий.

Структура ВКР , определенная логикой, последовательностью решения задач исследования, состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, содержащего 59 наименований, трех приложений.

ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

1.1 Анализ литературы по проблеме исследования

Как процесс репродуктивный, процесс, в результате которого не возникает ничего принципиально нового, а происходит лишь перекомбинация исходных элементов, рассматривали мышление ассоцианисты (А. Бен, Д. Гартли). В настоящее время этот подход нашел свое выражение в бихевиоризме (А. Вейс, Б. Скиннер).

В трудах советских психологов продуктивность выступает как наиболее характерная, специфическая черта мышления, отличающая его от других психических процессов, и в то же время рассматривается противоречивая связь её с репродукцией.

Среди работ, посвященных вопросам развития пространственного мышления при обучении математике, следует отметить работы В. А. Крутецкого, Д. Пойа, Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого Б. Г. Ананьева, П. Я. Гальперина, А. В. Запорожеца, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской и многих других. Большое внимание проблеме развития пространственного мышления учащихся при обучении математике и другим предметам уделялось в исследованиях по методике математики 1950-70-х годов (Н.Ф.Четверухин, А.И. Фетисов, Г.Г. Маслова, А.М. Лоповок, X.Б. Абугова, Р.С. Черкасов и др.). Каждый из исследователей предлагал свой, новый, взгляд на рассматриваемую проблему, тем самым, расширяя и углубляя её. Результаты исследований были внедрены в педагогическую практику и успешно использовались учителями. Однако усиление логической составляющей курса геометрии, стремление построить курс на строго дедуктивной основе привело к тому, что проблема развития пространственного мышления отошла на дальний план, что отрицательно сказалось на результатах обучения геометрии и, в первую очередь, стереометрии.

Различные аспекты компьютеризации в сфере образования изучены в работах И.Н. Антипова, Г.А. Борцовского, Я.А. Ваграменко, Д.Х. Джонассена, А.П. Ершова, И.Г. Захаровой, М.П. Лапчика, Е.И. Машбица, Н.Ю. Талызиной и других. Проблема применения информационных технологий в преподавании геометрии в средней и высшей школах посвящены публикации Ю.С. Брановского, В.А. Далингера, Ю.А. Дробышева, А.И. Азевича, Т.А. Матвеевой, И.В. Роберт, М.А. Никифоровой и других. Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программно – педагогических средств, условиям их применения, но и разработке соответствующих компьютерно – ориентированных методик изучения отдельных тем, разделов школьного курса геометрии. В силу ряда обстоятельств особое значение информационные технологии приобретают в процессе развития пространственных представлений школьников. Существует два основных мотива их использования. Первый связан с широким применением информационных методов в геометрической науке; второй – с повышением качества усвоения учебного материала.

Проблеме использования компьютерных математических систем в процессе обучения математике учащихся и студентов в средней и высших школах посвящены публикации И.Н Антипова, Е.В. Ашкинузе, Г.А Бордовского, Ю.С. Брановского, Б.Б. Беседина, Г.Д. Глейзер, Ю.Г. Гу-зуна, В. А. Далингера, Ю.А. Дробышева, И. В. Дробыше-вой, А.П. Ершова, С.А. Жданова, В.А. Извозчикова, А.А Кузнецова, Э.И. Кузнецова, М.П Лапчик, В.М. Монахова, М.Н. Марюкова, И.В. Роберт, А.В. Якубова и других.

Анализируя отечественный и зарубежный опыт использования информационных технологий в качестве средства обучения и формирования пространственных представлений школьников при изучении геометрии, можно сделать вывод о том, что по этой проблеме накоплен определенный опыт; получены глубокие результаты, имеющие теоретическое и практическое значение. Исследование проблем компьютерной поддержки преподавания математических дисциплин в средней и высшей школах в последнее время ведется особенно интенсивно. Исследования ведутся в различных направлениях. Им посвящены публикации Е.В. Ашкинузе, Б.Б. Беседина, Ю.С. Брановского, Ю.Г. Гузуна, В.А. Далингера, Ю.А. Дробышева, И.В. Дробышевой, В.Л. Матросов, М.Н. Марюкова, И.В. Роберт, А.В. Якубова и других. Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программно-педагогических средств учебного назначения с методикой их применения, но и разработке соответствующих компьютерно - ориентированных методик изучения отдельных тем и разделов школьного и вузовского курсов математики. Анализ этих исследований позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий в математических курсах имеет большие возможности. Многое, что сделано в этой области, заслуживает внимания, преобладает много положительного.

1.2 Психологические закономерности развития пространственного воображения

Пространственное воображение - вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное воображение есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения [12, 22].

Пространственное воображение в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного воображения. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ - это отражение в нём объективных законов пространства. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов - их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими [24, 26].

В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.

Такой взгляд на пространственные представления был взят за основу многими учёными-методистами [8, 32, 59 и др.] при разработке методики формирования и развития пространственных представлений учащихся. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) фигуры, отношения между ее элементами. Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации и изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.

Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них [59].

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат пространственного воображения, которое сочетает в себе взаимосвязанные компоненты (пространственный и логический) мышления.

Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.

Научное наследие выдающегося швейцарского ученого Ж. Пиаже уже не одно десятилетие вызывает интерес психологов всего мира. Его исследования, "посвященные развитию детского познания - восприятия и особенно мышления, - составляют, - по утверждению П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина, - одно из самых значительных, если не самое значительное явление современной зарубежной психологии" [13, 596].

Признавая используемый Ж. Пиаже формально-логический подход в качестве возможного описания закономерностей развития мышления ребенка, многие отечественные и зарубежные ученые все же отмечают его ограниченность и пытаются рассмотреть ментальную деятельность как некую новую психическую реальность, образующуюся на определенных этапах развития (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.Ф. Обухова, Д.Б. Эльконин, М. Доналдсон, Р.В. Конелэнд). В частности, пытаясь объяснить психические механизмы, лежащие в основе знаменитых феноменов Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин и Д.Б. Эльконин высказали гипотезу о том, что их причина лежит в отсутствии четкой последовательной дифференциации некоторых объективных характеристик предметов, таких как длина, форма, вес и т.д.

Следующий продуктивный шаг в этом направлении был сделан Н.И. Чуприковой [55, 56]. Ей удалось связать указанную гипотезу П.Я. Гальперина и Д.Б. Эльконина с исследованиями, утверждавшими, что, во-первых, дифференциация познавательных структур и процессов составляет релевантный компонент интеллектуального развития (Х. Вернер, Х.А. Уиткин) и, во-вторых, что способность ребенка дифференцировать различные признаки и отношения предметов есть стержневая линия при переходе от непосредственного чувственного познания к абстрактному мышлению (Г. Гегель, И.М. Сеченов, Дж. Миллер, Н.И. Чуприкова). Опираясь на эти и ряд других результатов теоретических и экспериментальных работ, Н.И. Чуприкова поставила задачу обосновать связь феноменов несохранения Ж. Пиаже с недостаточной дифференцированностью отражения различных свойств объектов. В процессе ее решения автором была выдвинута и подтверждена гипотеза, согласно которой за весьма разными, на первый взгляд, приемами формирования у детей, обладающих соответствующими возможностями, способности решать задачи на сохранение всегда лежит процесс выработки дифференцированного отражения различных свойств объектов [55, 56].

Согласно фактам, описанных Ж. Пиаже [43], С.Л. Рубинштейном [46], Н.Н. Поддьяковым [44], Ф.Н. Шемякиным [58], серии экспериментов, проведенных И.С. Якиманской [59] и под ее руководством [10] ребенок выделяет в окружающих его предметах пространственные характеристики дифференцированно.

Овладение ребенком математическими понятиями, а стало быть, и выделение им геометрических характеристик в окружающем пространстве идет путем дифференциации различных свойств двух и трехмерных объектов по их многочисленным признакам.

Применительно к познанию и овладению ребенком пространством Ж.Пиаже выделяет такие "качественные операции, структурирующие пространство; порядок пространственной преемственности и включение интервалов или расстояний; сохранение длины, поверхностей и т.п.; выработка системы координат, перспективы и сечения и т.д." [42, c.199]. К 15 годам человек уже обладает всеми выделенными Ж. Пиаже феноменами, и процесс дифференциации, как и развития, по мнению ученого, заканчивается.

Довольно полную и обширную феноменологию пространственного мышления удалось получить И.С. Якиманской и в исследованиях, выполненных под ее руководством. И.С. Якиманская и ее сотрудники выявили массу индивидуальных особенностей, описали множество различных признаков и характеристик процесса оперирования пространственными объектами. В частности, они обнаружили присущие отдельным испытуемым три типа оперирования пространственными образами. Их содержание отражено в разных видах задач, требующих: изменения пространственного положения созданного образа (I тип); изменения структуры созданного образа (II тип); длительного и неоднократного изменения и пространственного положения, и структуры (III тип) [10]. Однако в этих работах исследования были акцентированы на выявлении феноменов процесса оперирования пространственными образами и проблемах их формирования. Задача описания психологических механизмов развития этих особенностей и процессов создания образов и ориентации в пространстве посредством дифференциации и интеграции подструктур пространственного воображения не ставилась [10, 42].

Базисными для пространственного воображения являются основные подструктуры: топологическая, проективная, порядковая, метрическая и алгебраическая. С помощью первой из указанных подструктур - топологической - человек выделяет и оперирует такими гомеоморфными пространственными характеристиками, как непрерывность, компактность, связность, замкнутость образа. Проективная подструктура детерминирована феноменом толерантности (отношения сходства) и позволяет индивиду распознавать, представлять, оперировать и ориентироваться среди пространственных объектов или их графических изображений с любой точки отсчета; устанавливать сходство (соответствие) между пространственным объектом и его различными проекциями (параллельной, ортогональной, центральной) и т.д. При этом принципиальным является умение устанавливать соответствие не между различными проекциями одного объекта, а между объектом и его проекциями. Опираясь на порядковую подструктуру пространственного воображения, человеку удается вычленять свойства квазипорядка, линейного или частичного упорядочивания множества различных пространственных объектов, устанавливать отношения иерархии по различным основаниям: ближе - дальше, больше - меньше, ниже - выше, направо - налево и т.д. Метрическая подструктура акцентирует внимание на количественных преобразованиях и позволяет определять числовые значения и величины длин, углов, расстояний. Наконец, с помощью алгебраической подструктуры удается соблюдать законы композиции, устанавливать обратимость пространственных преобразований, "свертывать" их, заменять несколько операций одной [10, 26, 27].

Наряду с этими пятью базисными феноменами пространственного воображения выделяются четыре уровня развития пространственного воображения.

Так, овладение окружающим пространством на ментальном уровне проявляется у ребенка старше трех лет в вычленении топологических характеристик объектов. Оно выражается в рисовании на бумаге, песке, реализации в движении "бесконечных" непрерывных связных линий. Одним из любимых занятий становится хождение по лабиринтам, которыми изобилует литература, адресованная дошкольнику. Здесь он с огромным удовольствием сначала графически, а затем и в воображении отыскивает непрерывный, компактный, связный путь движения.

Далее ребенок начинает дифференцировать окружающее пространство, не только отражая топологические характеристики (непрерывность, компактность, замкнутость и т.д.), но и вычленяя толерантность пространственных объектов, их изображений. Это проявляется в быстром и легком установлении соответствия между похожими предметами, сходными изображениями, предметами и их изображениями, выполненными в различных проекциях и ракурсах. Наличие этого умения свидетельствует о появлении у него проективной подструктуры [10, 25, 27].

Дифференциация пространственного воображения у различных индивидов определяется уровнем развития этого ментального процесса. Как оказалось, у людей с I уровнем развития в пространственном воображении существует лишь одна слаборазвитая подструктура, которую, тем не менее, можно считать доминирующей уже в силу того, что остальные отсутствуют. Это проявляется в том, что в окружающей реальной или воображаемой ситуации они не замечают или с большим трудом вычленяют и отделяют одни свойства и отношения объектов (например, топологические) от других (например, метрических) даже при явной необходимости этого.

II уровень характеризуется тем, что в пространственном воображении наряду с доминирующей существуют и другие (может быть, и все) подструктуры, но выражены они все еще слабо.

Более высоким является III уровень развития данного вида воображения, когда сформированы все подструктуры, но у каждого человека имеется наиболее ярко выраженная - ведущая, которая единственно устойчива и индивидуальна. Характерной чертой внешнего поведения этих индивидов является их постоянное стремление к дифференциации и вычленению в реальной или воображаемой ситуации и у объектов, прежде всего тех свойств и отношений, которые соответствуют своей ведущей подструктуре. Вместе с тем эти испытуемые способны вычленять и оперировать и иными отношениями (топологическими, порядковыми и т.д.), но это происходит лишь при явном требовании [10, 27].

Например, при описании своей комнаты испытуемые с I уровнем развития пространственного воображения хаотично фиксируют имеющиеся в ней предметы. А на вопрос "Как пройти к определенному объекту?" - бессистемно называют некоторые (и релевантные, и нерелевантные) ориентиры. Создать по их рассказу представление о комнате или пути движения очень сложно. Испытуемые со II уровнем проводят описание в рамках одной своей ведущей подструктуры. В случае метрического кластера оно звучит примерно так: "Комната 26м2 , в ней четыре окна, две кровати, одна тумбочка", или "Пройдете по этой улице 200м до колонки, затем еще метров 45 и увидите примерно в полукилометре белое здание с тремя огромными витринами". Испытуемые с III уровнем развития пространственного воображения по требованию могут последовательно описать предметы в комнате или объекты, встречающиеся по пути, указать порядок расположения или движения ("над кроватью", "повернете налево"), проецировать ситуацию с различных точек отсчета - от себя, от объекта, от экспериментатора ("если смотреть от двери", "прямо от вас"). Однако при этом явно доминируют отношения, гомоморфные ведущей подструктуре. В случае метрики - числа и величины в метрах, углах, единицах времени: "Минут через 10 Ваша дорожка повернет примерно на 30°, и в ста метрах будет вокзал", или "Повернете направо, затем налево и резко направо" - при ведущей порядковой подструктуре, и т.д.

Достижением III уровня развития пространственного воображения процесс дифференциации пространственного мышления не заканчивается. Далее он идет в рамках отдельных подструктур, определяя тем самым уровень их развития, что непосредственно влияет и на формирование этого ментального процесса в целом. Например, конкретное оперирование пространственными образами (выполнение мысленных поворотов, симметричных отображений и т.д.) может осуществляться различным образом, по разным типам.

1.3 Особенности использования информационных технологий при изучении стереометрии

Применение компьютерных технологий в преподавании математики волнует сейчас многих учителей. Несмотря на разворачивающийся в последние годы “компьютерный бум”, перед нами открываются как перспективы при применении компьютерных технологий, так и трудности связанные с этим вопросом. Трудности, связанные с техническим обеспечением, методическим оснащением, а так же с делением класса на группы, так как классы состоят из 25-30 человек, а в компьютерных классах в основном размещено 12-13 компьютеров. Для этого необходимо удобное расписание, что не всегда возможно. Необходимы обученные учительские кадры, которые свободно владеют общими навыками работы за компьютером.

Рассмотрим пять основных дидактических функций компьютера в преподавании математики [7].

1. Выполнение упражнений, когда учащимся предлагаются ранжированные по трудности задания.

2. Электронная доска, использование мультимедиа – проектора на уроках математики.

3. Моделирование.

4. Исследование, когда из числа предлагаемых вариантов ученик выбирает, аргументируя, собственное решение.

5. Математические расчеты в курсах других дисциплин.

Конечно, выполнение всех этих функций предполагает большой труд, как учителей, так и инженеров-программистов.

Ученые говорят об «информационных технологиях» как об инструментарии «информатики». Рассмотрим что такое информатика и информационные технологии.

Информатика наука, изучающая информацию, информационные процессы в природе, обществе, технике, формализацию и моделирование как методы познания, способы представления, накопления, обработки и передачи информации с помощью технических средств – компьютеров и многое другое [49, 52].

Информационные технологии это совокупность методов, устройств и производственных процессов, используемых обществом для сбора, хранения обработки и распространения информации [48, 52].

Часто информационные технологии называют компьютерными технологиями или прикладной математикой. Фундаментальная наука информатика связана с математикой – через теорию математического моделирования, дискретную математику, математическую логику и теорию алгоритмов. Наряду с фундаментальными науками существуют прикладные науки: вычислительная математика, технология, прикладная математика и пр. Обучающие программы реализуют одно из наиболее перспективных применений новых информационных технологий в преподавании и изучении предмета «Математика», позволяют давать такие наиважнейшие понятия курса математики на более высоком уровне, обеспечивающем качественные преимущества по сравнению с традиционными методами.

Использование компьютера на уроках математики способствует активной деятельности учащихся. Внутренняя формализованность работы компьютера, строгость в соблюдении “правил игры” с принципиальной познаваемостью этих правил способствует большей осознанности учебного процесса, повышают его интеллектуальный и логический уровень. Компьютер является как помощником, так и контролером на стадии тренировочных упражнений. Огромное разнообразие ролей компьютера в учебном процессе в своей основе является сочетанием трех главных функций: компьютер как орудие, компьютер как партнер, компьютер как источник формирования обстановки. Он помогает в значительной степени учителю при проведении урока, делая его отношения с учениками более человечными [49].

Во-первых, компьютер замыкает на себя большую часть контрольных функций и реакций на ошибки ученика. Ошибки, беспощадно фиксируемые компьютером, оказываются в значительной степени частным делом школьника. Учитель освобождается от необходимости выявлять слабые стороны в знаниях учащихся, его отношение к детям становятся более позитивными.

Во-вторых, компьютер, вступая с учеником в партнерские отношения, освобождает учителя от необходимости поддерживать темп и тонус деятельности каждого обучаемого. Благодаря этому учитель получает больше возможностей видеть обстановку в классе в целом или уделять внимание отдельному ученику.

Все это реализуется только в тех случаях, когда урок хорошо оснащен технически и методически обеспечен и сам учитель не принужденно и свободно владеет общими навыками работы за компьютером. Использование новых технологий дает возможность учителю вносить в учебный процесс новые разнообразные формы и методы, что делает урок более интересным. Однако чтобы подготовить урок с использованием компьютерных технологий, затрачивается много сил и времени для этого.

Компьютер расширяет возможности решения сложных стереометрических задач. Он позволяет такого типа задачи сделать наглядно обозримыми, помогает развитию пространственного воображения.

Одной из основных проблем при изучении геометрии в школе является проблема наглядности, связанная с тем, что изображения даже простейших геометрических фигур, выполненные в тетрадях или на доске, как правило, содержат большие погрешности. Современные компьютерные технологии позволяют решить эту проблему. Стереометрия - это одна из немногих, если не единственная область школьной математики, в отношении которой не приходится агитировать за информационные технологии. Современная трехмерная графика позволяет создавать модели сложных геометрических тел и их комбинаций, вращать их на экране, менять освещенность. Поэтому полный интерактивный курс стереометрии, предложенный компанией "Физикон", призван помочь учителю более успешно справиться с решением стоящих перед ним задач, а его использование на уроках геометрии в 10-11 классах сделает доступным сложный учебный материал более широкому кругу учащихся [23, 25].

Приступая в 10 классе к изучению нового раздела геометрии - стереометрии, учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство, хотя, казалось бы, новый предмет можно начать "с чистого листа". "Лишнее" измерение создает особенные сложности в начале изучения стереометрии, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью представить себе столь абстрактные понятия, как бесконечно протяженные прямая и плоскость в пространстве, которым посвящено большинство теорем и задач курса 10 класса.

Второе затрудняющее школьников обстоятельство - как подойти к доказательству теоремы или решению зачастую весьма абстрактной задачи. А проблема учителей - как научить школьников находить нужный подход. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению - пониманию теорем и условий задач, сформулированных словесно.

Одним из условий успешного изучения учащимися начал стереометрии является наличие у них развитых пространственных представлений. Под пространственными представлениями понимают умственную деятельность по созданию образов и оперированию ими. Психолого-педагогические исследования пространственных представлений у школьников показывают, что у учащихся 10-х классов оно развито намного слабее, чем у учащихся 7-х классов [8, 10, 59].

Использование при изучении стереометрии вещественных моделей для показа взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве необходимо, но недостаточно. Во-первых, не всегда просто показать расположение объектов внутри геометрических тел; во-вторых, невозможно проследить динамику построений; в-третьих, переход от вещественной пространственной модели к ее изображению на плоском чертеже затруднен для учащихся. Справиться с этими сложностями позволяют прикладные компьютерные программы, строящие трехмерные изображения. Одним из таких инструментальных программных средств может служить графический редактор TRUE SPACE 2.0, разработанный в 1995г. фирмой COLIYARI CORPORATION [1, 36, 40].

Этот редактор позволяет создавать трехмерные изображения произвольной формы методом модификации готовых примитивов. Библиотека примитивов содержит графические образы прямой, плоскости, куба, цилиндра, конуса, сферы, тора. TRUE SPACE 2.0 обладает хорошим качеством изображения пространственных фигур. Редактор дает возможность строить прозрачные объекты, окрашивать определенным цветом их отдельные части или в целом, создавать сочетание различных объектов и новые изображения, рассматривать трехмерные изображения, с различных сторон производя и не производя их перемещения, исключить искажение, которое неизбежно появляется при их проектировании на плоскость. Все это позволяет учителю создать систему задач на развитие пространственных представлений учащихся.

Работа с TRUE SPACE 2. 0 не требует специальной профессиональной подготовки учителя как программиста, достаточно навыков пользователя, так как программа имеет хорошее меню в картинках, а выбор нужной процедуры осуществляется с помощью мыши. Учитель, в зависимости от цели урока может подготовить демонстрационный компьютерный фильм с помощью задания траектории движения пространственного объекта, изменения его формы или построения дополнительных объектов, их закраски и т. п. Построив трехмерное изображение в TRUE SPACE 2. 0, можно сохранить его в файле и получить его фотографическую копию на плоскости, распечатав из любого двумерного графического редактора. Использование этих копий поможет учителю научить учащихся правильно строить плоские изображения пространственных фигур, проиллюстрировать на них требования, предъявляемые к изображениям (наглядность, правильность, простота). Таким образом, использование инструментального программного средства TRUE SPACE 2.0 способствует достижению целей обучения учащихся первым разделам стереометрии.

Элементы компьютерной среды.

Графический редактор "Paint" входит в стандартный комплект программных средств компьютера. Он служит для создания, просмотра и редактирования графических изображений. Созданное изображение может быть распечатано на принтере или записано в виде файла для его дальнейшего использования.

Графический редактор "Adobe Illustrator" является более мощным средством для создания и обработки рисунков, он имеет дело с так называемым векторным изображением

С помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel можно строить графики функций и выполнять несложные вычисления.

Программа 3D See Builder поможет выполнить задачи на построение сечений.

school. еdu. ru . - Российский образовательный портал

zadachi.mccme.ru - информационно- поисковая система <Задачи>

matematica.agava.ru - сайт разнообразных математических задач с решениями для поступающих в вузы.

school. msu.ru - учебно-консультационный сайт для учащихся и преподавателей средних школ.

Мультимедийные учебные пособия: "Алгебра не для отличников", "Геометрия не для отличников", "Тригонометрия не для отличников", "Teach Pro Математика. Решение уравнений и неравенств", "Teach Pro Математика. Тригонометрия. Функция", Л. Боревский "Курс математики 2000", "Математика абитуриенту", "Все задачи школьной математики. Алгебра 7-9, Алгебра и начала анализа 10-11, итоговая аттестация выпускников", "Открытая математика. Планиметрия", "Открытая математика. Стереометрия", "Открытая математика. Функции и графики" 2004г.

1.4 Методика обучения школьного курса геометрии с использованием информационных технологий

В настоящее время школьное математическое образование, как всё народное образование, реформируется. Наблюдается резкое сокращение количества часов, отводимых на математические дисциплины. Существуют проблемы и при изучении стереометрии. Формальные знания по этому разделу школьной математики обнаруживаются у большинства абитуриентов. В связи с этим выявляется не только недостаточно сформированное пространственное представление учащихся, но и отсутствие умения выполнять проекционный чертёж и оперировать данными на нем [7, 17, 23, 49].

Создание условий использования информационных технологий имело своей целью увеличить эффективность развития пространственного мышления учащихся подросткового возраста.

Рассмотрим возможные способы применения информационных технологий в процессе обучения стереометрии.

1. Индивидуальное использование информационных технологий каждым из учащихся на уроке.

Такой способ применения информационных технологий предполагает проведения урока в оборудованном компьютерном классе, в котором предусмотрена возможность работы учащихся, как за компьютерами, так и без них. Т.е. тип расстановки компьютеров по периметру класса, а в центре установлены парты для письменной работы учеников.

Мы предлагаем этапы мотивационный и ориентировочный объединить в один – этап использования информационных технологий.

Структура урока будет выглядеть следующим образом:

1. Организационный этап

2. Этап использования информационных технологий

3. Подготовительный этап

4. Мотивационно – ориентировочный этап

5. Этап решения задач

6. Этап разъяснения домашнего задания

7. Подведение итогов.

Подготовительный этап.

Цель: актуализировать знания и умения необходимые для изучения нового материала.

На данном этапе эффектность мультимедийного сопровождения не сравнима с классическими приемами актуализации знаний. Приоритет мультимедийного сопровождения заключается в том что, воздействуя на все три канала восприятия, происходит активизация всех трех видов памяти: слуховой, зрительной и кинестетической. Активизация всех трех видов памяти в сумме дает более высокую эффективность актуализации знаний и умений. Кроме того, достаточно высокий темп актуализации знаний посредством мультимедийного сопровождения, дает возможность шире хватить знания и умения необходимые для урока. Так на пример при изучении темы «Горизонтальные, вертикальные и наклонный плоские поверхности», для успешного усвоения нового материала, на подготовительном этапе необходимо повторить тему «Горизонтальные, вертикальные отрезки и прямые».

Мотивационно-ориентировочный этап

Объединение мотивационного и ориентировочного этапов связано с тем, что мотивация происходит на всем этапе использования мультимедийного сопровождения. Непроизвольный интерес поддерживает анимация примеров и продуманное использование в мультимедийном сопровождении развивающего пользователя.

Пример урока

Тема: «Горизонтальные вертикальные, наклонные плоские поверхности».

Цели:

1) Образовательная: Определить способ построения плоской вертикальной поверхности.

2) Развивающая: Сформировать представление о горизонтально, вертикально и наклонно расположенных плоских поверхностях.

3) Воспитательная : Формирование ситуативного интереса к изучению геометрии за счет использование мультимедийного сопровождения на уроке.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: модели куба, демонстрационные модели фигур.

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Организационный этап.

II. Этап работы с мультимедийным сопровождением.

1) Подготовительный этап.

Сегодня мы поговорим о расположении поверхностей в пространстве. Для начала вспомним, как могут располагаться отрезки и прямые в пространстве.

Ребята откройте программу и выберите тему «Горизонтальные,вертикальные отрезки и прямые. Взаимно - перпендикулярные прямые»

«Назовите на рисунке вертикально расположенные ребра куба »

«Покажите на рисунке горизонтально расположенные ребра куба »

«Назовите ребра взаимно перпендикулярные ребра для ребра ВМ расположенные ребра куба »

2) Ориентировочный этап

«Ребята откройте программу и выберите тему «Горизонтальные вертикальные, наклонные плоские поверхности. Посмотрим, что знает об этом Пушарик?»

«Расскажите, что вы узнали от Пушарика о расположении поверхностей?»

III. Этап решения задач

Покажите, горизонтально, вертикально, наклонно расположенные грани куба.

Можно ли продемонстрировать наклонные плоские поверхности на кубе?

Найдите вокруг себя горизонтально, вертикально, наклонно расположенные плоские поверхности.

Расскажите о гранях этой фигуры.

Расскажите о гранях этой фигуры.

к

Как вы знаете, представление о вертикальных отрезках может дать отвес. А какой бы способ вы предложили строителям, которые хотят выложит из кирпичей вертикальную плоскую стену дома?

«Достаточно ли использовать только отвес? Не выложат ли строители круглую вертикальную башню, используя отвес».

«Вывод: для построения плоской вертикальной стены необходимо использовать горизонтально натянутую нить, вдоль которой перемещается отвес»

«Положите карандаш на стол. Как он расположен?

Поверните карандаш по часовой стрелке. Изменилось его расположение?»

«Вывод: Любая прямая линия, расположенная на горизонтальной поверхности, является горизонтальной. Любой отрезок, расположенный на горизонтальной поверхности, является горизонтальным».

«Представьте, что карандаш закрепили на вертикальной поверхности можно ли сказать, что карандаш тоже расположен вертикально?»

«А если карандаш закрепить на наклонной поверхности может ли он быть вертикально расположен?»

«Представьте, что вы один раз обходите башню с часами, имеющую форму куба. Укажите те три изображения башни, которые вы могли бы наблюдать при обходе её с постоянной скоростью. За какое время вы обойдёте башню, если соответствующие изображения какой-либо стены башни зафиксированы в те моменты, когда вы находитесь на одном и том же расстоянии от последнего угла башни. Ответ обоснуйте, описав или изобразив четыре боковые стены башни с часами».

IV. Этап разъяснения домашнего задания

1) Нарисуйте изображения объектов, в которых есть горизонтальные, вертикальные и наклонные плоские поверхности. Отметьте их.

2)Сконструируйте (можно из пластилина, палочек, кусочков картона) сооружение, в котором есть взаимно плоские перпендикулярные поверхности.

V. Подведение итогов

«Сегодня мы узнали, какие плоские поверхности называются горизонтально расположенными, какие вертикально расположенными. Научились определять, как расположена плоская поверхность. Узнали что любой отрезок или прямая, расположенный на плоской горизонтальной поверхности, тоже горизонтально расположен».

Работают с программой

AT, CE, DK, BM

AC, CD, DB, AB

AB, BD, TM,MK

(AC, CD, TE, EK)

Находят, показывают поверхности

Работают с программой

«Рассказывают»

«Показывают»

«Если наклонить, то да»

«Приводят примеры»

«А, О - наклонно расположенные плоские поверхности»

«Г - вертикально расположенные плоские поверхности»

«Б, В - горизонтально расположенная плоская поверхность»

«АБЖЗ - горизонтально расположенная плоская поверхность»

«МТЗА, ЖБВЕ - наклонно расположенные плоские поверхности»

«КТЗЖЕД, ЕВГД - вертикально расположенные плоские поверхности»

Выдвигают предложения

«Нужно передвигать отвес вдоль горизонтального отрезка»

«горизонтально»

«нет»

«нет»

«да»

Выполняют задание.

2. Использование информационных технологий на уроке в качестве презентации.

Данный способ предполагает оборудование учебного класса компьютером и мультимедийным проектором. Это способ рекомендуется применять в случаях, когда не возможности индивидуального использования мультимедийного сопровождения каждым из учащихся на уроке.

Тема: «Горизонтальные, вертикальные, наклонные отрезки и прямые».

Цели: Развитие пространственного мышления.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы обучения: частично - поисковый.

Оборудование: модели куба, карандаши, компьютер, колонки и мультимедийный проектор.

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I . Актуализация (Этап использования мультимедийного сопровождения)

Учитель на экране демонстрирует тему «Горизонтальные, вертикальные, наклонные отрезки и прямые» останавливаясь на каждом кадре темы, задает вопросы по просмотренному материалу.

II 1 . Подготовительный этап.

Посмотрите на куб в основном положении. Изобразите в тетради переднее нижнее, заднее правое, левое верхнее. Есть ли среди нарисованных вами рёбер такие, которые расположены (направлены) так же, как линия горизонта?

Возьмите карандаш. Изобразите им линию горизонта.

III 1 . Ориентировочный этап.

Отрезки, прямые, расположенные так же, как и линия горизонта, называют горизонтально расположенными или горизонтальными.

VI1 . Первичное закрепление.

Найдите вокруг вас модели горизонтальных отрезков.

Назовите горизонтальные рёбра куба в основном положении.

Представьте, что куб, находящийся в основном положении, наклонили. Можете ли вы теперь указать горизонтально расположенные рёбра?

Как расположены относительно друг друга граница стены и крыши и край фундамента дома? Какими линиями их можно изобразить? Представьте, что вы будете продолжать эти линии в оба конца бесконечно, пересекутся ли они?

II 2 . Подготовительный этап.

Перед вами нить с привязанным в одному из её концов грузиком. Поднимите её за свободный конец, так, чтобы нить была натянута. У всех ли у вас нити одинаково направлены? Как вы назовёте такое направление нити?

А как расположена та часть деревянной горки для катания зимой, с которой съезжают дети?

III2 . Ориентировочный этап.

Отрезки, прямые, расположенные так же, как и нить отвеса, называют вертикально расположенными или вертикальными. Если направление отрезков, прямых не является ни горизонтальным, ни вертикальным, то говорят, что они расположены наклонно.

IV 2 . Первичное закрепление.

Возьмите карандаш и расположите его вертикально, наклонно.

Сделайте из конструктора сооружение «Проект будущего». Придумайте название, обоснуйте его.

1) Отметьте бумажными кружками с буквой «г» элементы сооружения, расположенные как горизонтальные отрезки; с буквой «в» - как вертикальные отрезки; с буквой «н» - наклонные.

2) Представьте, что вы будете продолжать в обе стороны бесконечно: а) вертикальные отрезки, б) наклонные отрезки, в) горизонтальные отрезки. Пересекутся ли они?

Итак, горизонтально или наклонно расположенные в пространстве прямые могут пересекаться, вертикальные прямые не пересекаются.

Крокодил Гена решил проверить знания Чебурашки по геометрии и сказал: «Чебурашка, на этом кубе есть вертикальные и горизонтальные рёбра. Покажи их». Чебурашка взял кубик в руки и сказал: «Здесь нет ни одного горизонтального или вертикального ребра. Они все наклонные.» Кто же из них прав и почему?

Куб находится в основном положении. Вы видите горизонтально, вертикально расположенные рёбра, а какие вершины можно соединить, чтобы получить наклонный отрезок?

Найдите вокруг себя вертикальные модели отрезков.

Нарисуйте в тетради по паре вертикально, горизонтально расположенных отрезков. Назовите те отрезки, которые при продолжении за оба конца бесконечно могли бы пересечься.

Как надо расположить два карандаша, чтобы при их мысленном вытягивании они могли бы пересечься?

Значит, горизонтальный и вертикальный; вертикальный и наклонный; горизонтальный и наклонный, а иногда и 2 наклонных и 2 горизонтальных отрезка при продолжении их за оба конца бесконечно могут пересечься только в этом случае, если они принадлежат одной плоской поверхности.

V . Самостоятельная работа.

На открытке с калькой обведите объекты, которые можно рассматривать как горизонтальные, вертикальные и наклонные отрезки и обозначьте их соответственно буквами «г», «в», «н».

(раздать открытки с калькой).

VI . Домашнее задание.

На вашем рисунке с домиком отметьте зелёным карандашом вертикально расположенные отрезки, а синим – наклонно, красным – горизонтально.

Показывают

«Правое верхнее, правое заднее, верхнее заднее»

«Есть – переднее нижнее ребро»

«Левое нижнее ребро»

Называют

«Нет»

«Горизонтально»

«Нет»

«У всех»

Выдвигают предложения

«Наклонно»

Слушают, запоминают

Выполняют задание

«Вертикальные не пересекутся, а остальные могут пересечься»

«Оба правы, так как Гена смотрел на куб в основном положении, а Чебурашка наклонил кубик»

«Нужно расположить их на одной плоской поверхности, при чём хотя бы один из них должен быть не вертикальным»

Выполняют задание

Записывают задание

1.5 Формирование пространственного воображения учащихся в компьютерной предметной среде

Структура геометрической деятельности учащихся в единстве ее наглядно-образной и логико-интуитивной сторон позволяет в системе конкретных действий учащихся по конструированию, анализу и синтезу геометрических фигур, решению задач различной направленности, исследованию понятий, фактов геометрии спроектировать процесс их обучения, обеспечивающий гармоничное сочетание всех компонентов деятельности. При этом покомпонентный состав деятельности, выступающий по отношению к реальным учебным действиям учащихся в качестве всеобщей теоретической основы, охватывает как внешнюю, практическую познавательную сферу, так и внутреннюю интеллектуальную среду, в которой осуществляется создание и оперирование мыслительными геометрическими образами, выступающую в качестве ведущей цели геометрической деятельности.

В проектировании геометрической деятельности учащихся средствами новых информационных технологий задача формирования пространственного мышления решается весьма противоречиво и недостаточно эффективно:

· многочисленные программные средства направлены на исключение учителя из учебной деятельности, моделирование или замену чертежных инструментов, выключение из решения геометрических задач процесса построения фигур и т.д.;

· и в современных компьютерных геометрических системах решаются лишь частные аспекты формирования определенных компонентов пространственного мышления, не создающие в сознании учащихся устойчивых, целостных пространственных представлений [37, 54].

В геометрической деятельности учащихся осуществляется формирование пространственного мышления. На опосредованность структуры мышления содержанием деятельности указывал Ж.Пиаже, сопоставляя основные структуры математики (алгебраические, порядковые, топологические) основным элементарным структурам мышления [43]. Эту же мысль подчеркивает Г.Д.Глейзер: «Успех на пути исследования структуры математического мышления заложен в сопоставлении общих закономерностей мышления с методами математики, как объективированным воплощением специфически математических способов мышления».

Опосредованность пространственного мышления содержанием геометрической деятельности ставит задачу проектирования технологии геометрической деятельности, гарантирующей становление и развитие всех компонентов пространственного мышления в их системной взаимосвязи. В свою очередь, проектированию технологии предшествует анализ структуры геометрической деятельности, внутренней связи ее компонентов, последовательности этапов формирования соответствующих действий.

Выводы по первой главе:

1. Развитие пространственного воображения школьников на уроках геометрии важным моментом в преподавании курса геометрии. Подтверждением этого являются многочисленные исследования в различных областях: философии и методологии математического познания и математического образования; создания и использования средств обучения и учебно-материальной базы; теории методологии и практики информатизации образования; теории и методики обучения математике; психологии и педагогики.

2. Под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, понимается обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств. Базисными для пространственного воображения являются основные подструктуры: топологическая, проективная, порядковая, метрическая и алгебраическая.

3. Правомерность использования информационных технологий в качестве вспомогательного средства в процессе обучения геометрии основывается на том факте, что рисунок любого объемного тела является имитацией трехмерного пространства на плоском двумерном листе бумаги. Применение же трехмерного компьютерного моделирования позволяет облегчить процесс понимания конструкции реального трехмерного тела, а также дает возможность проследить пространственные линии связей с помощью каркасной модели объекта и, в конечном счете, получить реалистическую визуализацию с помощью наложения текстур и фактур.

4. При изучении школьного курса геометрии возможны различные способы использования информационных технологий (индивидуальное, в качестве презентации). Их можно использовать на всех этапах урока.

5. Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения геометрии является использование упражнений, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи.

Глава 2. ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДИКИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ

Исходя из целей и задач исследования, была проведена экспериментальная работа (констатирующий, формирующий и контрольный эксперимент). Базой для ее проведения явились учащимися группы ПР - 1 в 2007 учебном году в федеральном государственном образовательном учреждении среднего профессионального образования СГХТ. В качестве контрольной группы выступала группа ТП - 1.

В нем приняли участие 60 учащихся.

К целям эксперимента мы отнесли:

- выявление уровня сформированности пространственного воображения учащихся 10-11-х классов, необходимых при решении геометрических задач;

- разработка и апробирование комплекса методических приемов по усвоению новых знаний, направленного на формирование пространственного воображения школьников;

- подтверждение гипотезы о том, что применение в процессе обучения стереометрии разработанной нами методики с использованием информационных технологий будет способствовать формированию пространственных представлений школьников.

Проверка эффективности разработанной методики использования информационных технологий как средства формирования пространственного воображения учащихся при изучении курса стереометрии проводилась во время занятий.

Апробирование проводилось в три этапа: констатирующий срез, формирующий эксперимент, контрольный срез. Охарактеризуем каждый этап.

2.1 Констатирующий срез

Цель первого этапа – убедить учащихся в том, что уровень сформированности пространственного воображения школьников не достаточно высокий.

Психолого–педагогический и дидактико–методический анализ работ Е.Г.Ананьева, Г.Г.Глейзера, В.П.Зинченко, Е.Н.Кабановой – Миллер, И.Н. Каплуновича, Л.Купера, К. Робинса, И.Рока, И.С. Якиманской, Л.Л.Якобсон и др. позволил определить последовательность этапов формирования пространственного представления тел вращения:

1. Ощущение, восприятие и анализ наглядной модели тела вращения.

2. Создание пространственного представления о телах вращения (в памяти и в воображении).

3. Оперирование пространственным образом тела вращения.

4. Овладение методами изображения пространственных объектов.

5. Установление взаимосвязи между телами вращения и их графическим изображением (овладение приемами содержательного анализа графического изображения тела вращения; создание пространственного образа по изображению).

6. Установление взаимосвязи между двумерным представлением о теле вращения и его реальным графическим изображением (создание мысленного двумерного образа тела вращения; отображение двумерного представления о теле вращения на реальную плоскость в виде графического изображения).

На основе анализа педагогической, психологической и методической литературы нами сформулированы следующие показатели сформированности пространственного воображения школьников 10-11-х классов:

1. Глубина характеризуется целостностью восприятия, то есть способностью видеть весь объект в целом, а также определять структуру объекта, связи между его элементами, взаимосвязь данного объекта с другими, понимать способ возникновения той или иной конфигурации, предвидеть ее дальнейшее развитие. Данное качество пространственного мышления проявляется в процессе формирования пространственных представлений на этапах анализа визуальной информации, выявления стандартов, определения дополнительной информации и включения пространственных представлений в новые связи.

2. Широта пространственного мышления характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применимым к частным нетипичным случаям. Это качество проявляется в готовности принять во внимание новую информацию в знакомой ситуации. Данное качество участвует в формировании и развитии пространственных представлений при обучении геометрии на этапе анализа визуальной информации, в процессе выявления стандартов, а, особенно, в процессе получения новой дополнительной информации.

3. Гибкость пространственного мышления характеризуется способностью к варьированию способов действия; легкостью перестройки при изменении условий действия; легкостью перехода от одной точки отсчета к другой; от одного способа действий к другому; умением переносить качества одного предмета на другой; выходить за границы привычного способа действия; умением видеть несколько возможных ситуаций, в которых сохраняются существенные свойства объекта, но изменяются несущественные. Данное качество мышления проявляется на всех этапах формирования и развития пространственных представлений при обучении геометрии.

4. Устойчивость пространственных представлений представляет степень свободы манипулирования образом с учетом той наглядной основы, на которой образ первоначально создавался. Свобода такого оперирования проявляется в легкости и быстроте перехода от одного вида наглядности к другому, в своеобразном перекодировании их содержания, что требует умения удерживать в памяти образ пространственного объекта и фиксировать изменения, происходящие в нем, умения анализировать образ пространственного объекта. Такая свобода оперирования характерна для развитых пространственных представлений, в то время как скованность каким-либо одним изображением, неумение увидеть то же самое на другом изображении свидетельствуют о недостаточном их развитии. При изучении геометрии устойчивость пространственных представлений способствует рассмотрению множества различных геометрических образов, в которых сохраняются существенные признаки и изменяются несущественные. Развитию этого показателя способствует широта и гибкость пространственного мышления

5. Полнота пространственных представлений характеризует структуру пространственного образа, то есть набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственное размещение (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов). Следовательно, в структуру образа геометрического объекта включаются представление о форме, величине геометрического объекта, взаимном его расположении относительно других объектов, или взаимном расположении его частей относительно друг друга. Развитию этого показателя способствует глубина и широта визуального мышления.

6. Динамичность пространственных представлений выражается в способности к произвольной смене точек отсчета, к произвольному изменению положения пространственного объекта, его элементов. Изменение систем отсчета позволяет найти такую позицию наблюдателя, с которой субъект, рассматривая пространственную фигуру, знакомиться и с плоскими фигурами, полученными как проекции пространственных на определенные плоскости. Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. Все эти преобразования выполняются уже в «мысленном пространстве», в то время как графические изображения остаются объективно неизменными.

7. Целенаправленность пространственного мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач, постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать кратчайший путь ее решения. Наличие этого качества важно при поиске плана решения задачи, при извлечении дополнительной информации из наглядности.

Опираясь на исследования педагогов, психологов и методистов, собственный опыт преподавания стереометрии, нами выделены и обобщены критерии сформированности пространственного воображения школьников 10-11-х классов:

1. Владение мыслительными операциями: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование и т.д.

2. Сформированность следующих умений:

- сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);

- анализировать образ геометрической конфигурации;

- синтезировать образ геометрической конфигурации;

- вычленять форму образа геометрического объекта;

- определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;

- определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;

- конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания.

На основе разработанных нами критериев и показателей сформированности пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий, анализа педагогической, психологической и методической литературы, собственного опыта, возможностей использования информационных технологий, нами разработана дидактическая модель формирования пространственного воображения учащихся при изучении школьного курса стереометрии с использованием информационных технологий (рис. 1).




Задания среза можно представить следующим образом.

1. Какие из предложенных на рисунке фигур являются разверткой правильной 6-тиугольной призмы? (Ответ а))

2. В кубе ABCDEFGH точки M , N и K расположены на ребрах EF , CG , AD соответственно так, что EM = MF , CN : NG = 1 : 2, AK : KD = 1 : 3. Построить сечение куба плоскостью MNK .

3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником.

4. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? (5) Какими геометрическими фигурами являются ее грани? (параллелограммами) Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? (да) Изобразите данную призму.

5. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

6. Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 40 и 30 см2 . Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (AB = BC ) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D 1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Констатирующий срез показал, что не все рассматриваемые умения сформированы на данном этапе у школьников.

· с первым заданием справились 21 человек, что составляет 75%, частично справились 15%, не справились 10%;

· со вторым заданием справились 38% учащихся, 18% частично справились, а 44% не справились с заданием;

· с третьим заданием 55% полностью справились, 20% справились частично, 25% не справились;

· с четвертым заданием 40% справились, 21% справились частично, 39% не справились;

· с пятым заданием 43% справились, 27% справились частично, 30% не справились;

· с шестым заданием 48% справились, 27% справились частично, 25% не справились;

· с седьмым заданием 56% справились, 27% справились частично, 17% не справились (рис. 2).

Под термином «умение сформировано полностью» в данном случае понимается выполнение задания с обоснованием и пояснением ответа, а также хода решения. Под «умение сформировано частично» понимается выполнение задания с нечетким пояснением, либо с пропуском некоторых промежуточных рассуждений в ходе решения. Под «умение не сформировано» понимается невыполнение задания. Чаще всего ошибки возникали в заданиях второго, третьего и седьмого типов из-за определенной неподготовленности к решению такого типа заданий, а также из-за недостаточных теоретических знаний.

Для сравнения результатов констатирующего среза в качестве контрольной группы была взята параллельная группа ТП - 1. После проведенного аналогичного среза были получены следующие результаты.

· с первым заданием справились 20 человек, что составляет 72%, частично справились 16%, не справились 12%;

· со вторым заданием полностью справились 40% учащихся, 18% справились частично, а 42% не справились с заданием;

· с третьим заданием 57% полностью справились, 23% справились частично, 20% не справились;

· с четвертым заданием 47% справились, 15% справились частично, 38% не справились;

· с пятым заданием 40% справились, 27% справились частично, 33% не справились;

· с шестым заданием 45% справились, 30% справились частично, 25% не справились;

· с седьмым заданием 60% справились, 23% справились частично, 17% не справились (рис. 3).

Как показывают полученные данные и в контрольной группе, и в экспериментальной результаты оказались практически одинаковыми. Но также результаты показали, что большинство ошибок было связано с недостаточной сформированностью пространственного воображения.

Таким образом, в данном параграфе представлена организация проведения разработанной методики, констатирующий срез, его результаты. Далее, более подробно остановимся на анализе каждого занятия проведенных уроков и выделим основные затруднения школьников. Этому посвящен следующий параграф.


2.2 Формирующий эксперимент

На втором этапе эксперимента – формирующем – уточнялась гипотеза исследования, рассматривались основные положения курса геометрии в рамках компьютерного обучений; были разработаны входной и выходной контроли для определения уровня знаний, умений и навыков в начале и конце изучаемых тем с целью оценки степени усвоения знаний в процессе обучения и выяснения причин возникающих трудностей.

Данный этап был направлен на формирование и развитие пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий.

Эксперимент по формированию пространственного воображения обучения стереометрии с использованием информационных технологий было решено провести на первом курсе Соликамского горно-химического техникума на примере разделов «Цилиндр», «Конус», «Сфера. Шар».

Обучение происходило по разработанной нами методике.

Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения стереометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе пространственных представлений обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».

Нами выделены основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии:

- упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание);

- упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение);

- упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование);

- упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении.

I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства - выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а). Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель - определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б). Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO - изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в). Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.).

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?

г). Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости в, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно в стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей и . При этом р принадлежит. Как она может быть расположена относительно плоскости ?

Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.

В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.

Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а). Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму.

б). Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам: треугольная пирамида; треугольная призма;

в). Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г). Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n - 1 вершины.

д). Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:

Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.

Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ - развертка.

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.

а). Задачи на отыскание множеств точек - образов при определенном геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?

б). Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.

в). Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.

г). Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К - середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

IV. Упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.

Совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи информационных технологий рассмотрим на примере изучения тел вращения.

Первые два занятия были посвящены изучению темы «Цилиндр». Эти уроки проводились в соответствии с программой, но на каждом уроке использовалась презентация по данной теме. На них были изучены основные понятия и определения, связанные с цилиндром, выведены формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра; рассмотрены типовые и более сложные задачи по изучаемой теме. [см. Приложение 1]

Далее в течение четырех уроков изучалась тема «Конус». Обучение происходило по той же схеме, что и тема «Цилиндр», а так же здесь был изучен усеченный конус и все определения и формулы, связанные с ним. Были решены задачи, как простейшие, так и более сложные. [ см. Приложение 2]

После чего изучалась тема «Сфера. Шар» (4 часа). [ см. Приложение 3]

В процессе изучения тем «Цилиндр», «Конус» и «Сфера. Шар» нам удалось охватить весь объем теоретической информации. Нами были рассмотрены и отработаны задания на отработку основных умений и навыков, которые являются основными в процессе формирования пространственного воображения. При решении упражнений возникшие затруднения сразу устранялись по мере их возникновения и решались подобные задания на закрепление пройденного материала. Они были достаточно интересны и разнообразны по своему содержанию, отличались новизной формулировок, а также тем, что необходимо было логически мыслить при поиске ответа на поставленный вопрос. На каждом занятие были использованы информационные технологии. Занятия дали положительный результат по формированию умений:

- сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);

- анализировать образ геометрической конфигурации;

- синтезировать образ геометрической конфигурации;

- вычленять форму образа геометрического объекта;

- определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;

- определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;

- конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания.

Для сравнения результатов констатирующего среза по формированию пространственного воображения был проведен контрольный срез. Ему посвящен следующий параграф.

2.3 Контрольный срез

Для выявления уровня сформированности вышеперечисленных умений с учащимися был проведен контрольный срез и сопоставлен с констатирующим срезом. Контрольный срез также проводился в двух группах. Цель контрольного среза – проверить уровень сформированности пространственного воображения учащихся по сравнению с констатирующим срезом. Кроме того, по результатам решения заданий контрольного среза можно было судить об уровнях сформированности умений работать пространственными фигурами. Все задания объединяла общая цель – сформировать пространственное воображение учащихся с использованием информационных технологий при изучении стереометрии. В срезе содержалось семь заданий, направленных на выявление уровня сформированности пространственного воображения школьников 10 – 11-х классов. Рассмотрим задания одного из вариантов.

1. Какие из предложенных на рисунке фигур являются разверткой цилиндра? (Ответ а), б))


2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6см. Определить площадь сечения, проходящего через эти три точки.

3. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.

4. Какая фигура образуется при вращении вокруг оси (достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения вокруг его стороны АС , если АС = 8см, ВС = 5см.

5. В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани – квадраты. Найдите ребро призмы.

6. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если . ()

7. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Контрольный срез показал, что не все вышеуказанные умения оказались сформированы у школьников.

· с первым заданием справились 95% учащихся, частично справились 5%, не справились 0%;

· со вторым заданием справились 68% учащихся, 22% частично справились, а 10% не справились с заданием;

· с третьим заданием 65% полностью справились, 30% справились частично, 5% не справились;

· с четвертым заданием 74% справились, 23% справились частично, 3% не справились;

· с пятым заданием 63% справились, 27% справились частично, 10% не справились;

· с шестым заданием 58% справились, 27% справились частично, 15% не справились;

· с седьмым заданием 66% справились, 27% справились частично, 7% не справились (рис. 4).


По сравнению с констатирующим срезом ошибок наблюдалось гораздо меньше.

В контрольном классе при проведении аналогичного контрольного среза результаты получились следующие:

· с первым заданием справились 75% учащихся, частично справились 18%, не справились 7%;

· со вторым заданием справились 48% учащихся, 35% частично справились, а 17% не справились с заданием;

· с третьим заданием 55% полностью справились, 20% справились частично, 25% не справились;

· с четвертым заданием 50% справились, 21% справились частично, 29% не справились;

· с пятым заданием 50% справились, 28% справились частично, 22% не справились;

· с шестым заданием 48% справились, 37% справились частично, 15% не справились;

· с седьмым заданием 56% справились, 27% справились частично, 17% не справились (рис. 5).


Таким образом, в экспериментальной группе результаты улучшились, благодаря тому, что процесс обучения шел по разработанной методики с использованием информационных технологий.

Назовем те умения, которые оказались сформированы лучше остальных: сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью); анализировать образ геометрической конфигурации; вычленять форму образа геометрического объекта; конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Самым сложным оказалось проводить с учащимися работу по формированию умения синтезировать образ геометрической конфигурации; умения определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов; умения определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта. Причина того, что эти умения оказались сформированы хуже связана, прежде всего, с тем, что сами задания на эти умения достаточно сложны, а также сказывается недостаточный уровень сформированности логического мышления и пространственного воображения у учащихся 10 - 11 классов, который необходимо целенаправленно развивать, подбирая соответствующие задания и упражнения, приучая школьников рассуждать самостоятельно.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что с помощью нашей методики вышеперечисленные умения в большей степени сформированы. На основе проведенных срезов и анализа занятий была сделана количественная и качественная оценка результатов проведенного апробирования.

Выводы по второй главе:

1. Для проверки эффективности разработанной методики использования информационных технологий как средства формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии была проведена работа по ее апробированию, состоящая из трех этапов: констатирующего среза, формирующего эксперимента, контрольного среза

2. В процессе констатирующего среза была проведена самостоятельная работа, результаты которой позволили сравнить уровень сформированости пространственного воображения учащихся контрольной и экспериментальной группы.

3. Результаты контрольного среза показали, что использование информационных технологий на различных этапах урока позволяет повысить уровень сформированности пространственного воображения учащихся.

4. Анализ результатов констатирующего и контрольного срезов позволяет сделать вывод об эффективности разработанной методики использования информационных технологий как средства формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии.


З АКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике - развитие пространственного мышления учащихся в процессе изучения геометрии. Основным средством для решения этой проблем был выбран компьютер, который позволил выделить новый вид учебной наглядности - компьютерная анимация, реализующаяся посредством пакета стандартных программ PowerPoint.

В соответствии с поставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой и результатами, полученными в ходе исследования, можно сделать следующие выводы:

Анализ научно-методической литературы, посвященной вопросам формирования и развития пространственных представлений, позволил выделить основные психические и физиологические основы восприятия человеком объектов окружающего мира. В результате была выработана общая схема восприятия, которая легла в основу разработанной методики формирования пространственных представлений.

Была выявлена возможность применения компьютерной анимации в процессе формирования пространственных представлений. Компьютерная анимация заполнила некоторый пробел в процессе формирования пространственного образа геометрического объекта, она позволила осуществить плавный переход от натуральной вещественной модели к условно-графическому изображению - чертежу, что в значительной степени повышает уровень объективности пространственных представлений обучаемого.

Была разработана соответствующая методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации и дидактическая модель формирования пространственного воображения школьников при изучении курса стереометрии с использованием информационных технологий. По результатам опытной работы можно сделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формирование пространственных представлений учащихся. Систематизация результатов научно - методических исследований позволила выявить условия формирования пространственных представлений обучаемых: использование различных видов деятельности, в первую очередь деятельности по решению специально подобранных упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых; взаимосвязь формирования пространственных представлений с развитием логического мышления и речи учащихся; использование рациональной системы средств наглядности. Как показала практика преподавания, учет и использование этих условий и приемов успешно способствует работе по развитию пространственных представлений обучаемых. Опытная работа по применению разработанной методики показала ее эффективность. Опытная работа доказала, что целенаправленное и рациональное внедрение в практику новой учебной наглядности - компьютерной анимации ведет к повышению уровня развития пространственных представлений учащихся.

Сделанные выводы дают основание полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментально подтверждена, все поставленные задачи исследования решены и цель достигнута.

С ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азевич А.И. Несколько компьютерных программ [Текст] / А.И. Азевич // «Математика в школе» - 2002г. №10, - с. 41.

2. Арнхейм, Р. Визуальное мышление [Текст] / Р. Арнхейм // Хрестоматия по общей психологии. - М.: Изд-во МГУ, 1981. – с. 216.

3. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учеб. для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 395с.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 204с.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов – М.: Дрофа, 2005. – 236с.

6. Брунер Дж. О понимании детьми принципа сохранения количества жидкого вещества // Исследование развития познавательной деятельности / Под ред. Дж. Брунера. - М.: Педагогика, 1971. - 250с.

7. Верещагина Н.Н. Преподавание математики в классе с компьютерной поддержкой [Текст] / Н.Н. Верещагина. - http:/centen fio.ru/

8. Величковский, Б.М. Психология восприятия [Текст] / Б.М. Величковский, В.П. Зинченко, А.Р. Лурия. - М., 1973. – 215с.

9. Виленкин Н.Я. Математика [текст] / Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало, В.Б.Рождественнская, Л.П.Лаврова - М.: Просвещение, 1997.-315с.

10. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся [Текст] / Под ред. И.С. Якиманской. - М.: Педагогика, 1989.– с.142.

11. Выготский Л.С. Психология искусства [Текст] / Л.С. Выготский - М.: Искусство, 1987. – 198с.

12. Выготский Л.С. Педагогическая психология [Текст] / Л.С. Выготский. - М.: Педагогика-пресс, 1996. – 98с.

13. Гальперин П.Я., Эльконин Д.Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления: Послесловие [Текст] / Флейвелл Дж. Х. Генетическая психология Жана Пиаже. М.: Просвещение, 1967. - 621с.

14. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум [Текст] / В.Я. Гельман. – Питер, 2003г. – с. 78.

15. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1994. – 207с.

16. Грайс Д. Графические средства персонального компьютера [Текст] / Д. Грайс. М.: Мир, 1989. – 123с.

17. Дубровский В. Н. Стереометрия с компьютером [Текст] / В.Н. Дубровский // «Компьютерные инструменты в образовании» - 2003. № 6, с. 34.

18. Дубровский В.Н. и др. Интерактивные стереочертежи к учебнику А.В. Погорелова / В.Н. Дубровский - www.mto.ru/katal/index.html.

19. Залогова Л. А. Практикум по компьютерной графике [Текст] / Л.А. Залогова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 178с.

20. Зазнобина Л. С. Медиаобразование в современной российской школе [Текст] / Л.С. Зазнобина. Магистр. - 1995. - с. 17- 29.

21. Запорожец, А.В. Избранные психологические труды [Текст] / А.В. Запорожец. - М., 1986. –316 с.

22. Зинченко В.П. Исследование визуального мышления [Текст] / В.П. Зинченко // «Вопросы психологии» - 1973. №2., с. 56-73.

23. Зубрилин А. А., Пауткина О. И. Некоторые пути формирования пространственных представлений и пространственного воображения на уроках математики и информатики в средней школе [Текст] / А. А. Зубрилин, О. И. Пауткина // «Педагогическая информатика» - 2002. № 3, с. 34-45.

24. Кабанова - Меллер Е.Н. Анализ развития пространственного мышления школьников [Текст] / Е.Н. Кабанова - Меллер // «Советская педагогика» - 1956. №4, с. 28-38.

25. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике [Текст] / И.Я. Каплунович. - Новгород, 1996. –243с.

26. Каплунович И.Я. Развитие структуры пространственного мышления[Текст] / И.Я. Каплунович // Вопросы психологии - 1986. № 2., С. 56 - 66.

27. Каплунович И.Я. Содержание мыслительных операций в структуре пространственного мышления [Текст] / И.Я. Каплунович // Вопросы психологии - 1987. № 6., С. 115 — 122.

28. Каплунович И.Я., Петухова Т.А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использовать в преподавании [Текст] / И.Я. Каплунович, Т.А. Петухова // «Математика в школе». - 1998. № 5., С. 45 — 48.

29. Капустина Т.В. Компьютерная система «Mathematica 3.0» [Текст] / Т.В. Капустина // «Математика в школе» - 2003г. №7, стр. 37.

30. Кондрушенко Ю.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Автореф. дисс. канд. пед. Наук [Текст] / Ю.М. Кондрушенко. - М. - 1993. - 86с.

31. Котов Ю. В., Павлова А. А. Основы машинной графики: Учебное пособие для студентов худож.-граф. фак-тов пед. ин-тов [Текст] / Ю.В. Котов, А.А. Павлова. - М.: Просвещение, 1993. – 43с.

32. Линькова Н.П. К вопросу о развитии пространственного мышления [Текст] / Н.П. Линькова. - М.: Просвещение, 1991. - 127с.

33. Лурия, А.Р. Ощущения и восприятие [Текст] / А.Р. Лурия. - М., 1975. – 256с.

34. Лурия А.Р. Ум мнемониста. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления [Текст] / А.Р. Лурия. М.: Изд-во МГУ, 1981. – 187с.

35. Мордухай-Болтовский Д.Д. Психология математического мышления. Вопр. филос. и психол. [Текст] / Д.Д. Мордухай - Болтовский. М., 1908. Кн. 4.

36. Мураховский В. И. Компьютерная графика: Популярная энциклопедия [Текст] / В.И. Мураховский. М.: АСТ-Пресс, 2002. – 156с.

37. Окулов С.М. Основы программирования [Текст] / С.М. Окулов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 234с.

38. Петрова Н. Новые технологии образования [Текст] / Н. Петрова // «Вестник Российского Гуманитарного Научного Фонда» - 1996. №1, - с. 154-162.

39. Петрова Н. Компьютерная графика и анимация на персональном компьютере / Н. Петрова // CD-ROM "Энциклопедия персонального компьютера", R-Style, 1996.

40. Петросян В.Г., Газарян Р.М. Решение задач на построение в Paintbrush [Текст] / В.Г. Петросян, Р.М. Газарян // «Информатика и образование». - 2005. №1, с. 34-45.

41. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2000. – 383с.

42. Пиаже Ж. Структура интеллекта: Избр. психол. труды [Текст] / Ж. Пиаже. - М.: Просвещение, 1969. С. 55 — 231.

43. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия [Текст] / Ж. Пиаже // «Вопросы психологии». - 1964. № 6, с. 121 — 126.

44. Поддьяков Н.Н. Формирование у дошкольников способности наглядно представлять перемещения предметов в пространстве [Текст] / Под ред. А.В. Запорожца и А.П. Усовой. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. – 265с.

45. Резник, Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики [Текст] / Н.А. Резник, М.И. Башмаков // «Математика в школе». - 1981. - №1, с. 4-7.

46. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн. - СПб.: Питер, 2002. - 720с.

47. Семакин И. Г., Шестаков А. П. Основы программирования [Текст] / И.Г. Семакин. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 317с.

48. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур с помощью «Adobe illustrator» [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов // л «Математика в школе».- 2002г. №10, с.46.

49. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - М.: Дрофа, 2003г. – 365с.

50. Соловьев М. Трехмерный мир 3D Studio Max 5.0: Самоучитель пользователя [Текст] / М. Соловьев. - М.: Солон-Пресс, 2002. – 425с.

51. Третьяк Т.М., Егоренкова И.Д. Преподавание геометрии в 7-8 классах использованием информационных технологий [Текст] / Т.М. Третьяк, И.Д. Егоренкова. - http://ito.bitpro.ru/1998-1999/firms.html.

52. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии: Учебник для 10—11 классов [Текст] / Н.Д. Угринович. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 279с.

53. Феоктистов Т.И. Графический редактор PAINT [Текст] / Т.И. Феоктистов // «Математика в школе». - /2003г. №7, с.41.

54. Чашук И.В. Компьютерные технологии на уроках математики [Текст] / И.В. Чашук. - http://ito. bitpro.ru/1998-1999/c.html.

55. Чуприкова Н.И. О природе феноменов несохранения в задачах Пиаже [Текст] / Н.И. Чуприкова // «Вопросы психологии». - 1988. № 6, с.41— 52.

56. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего обучения) [Текст] / Н.И. Чуприкова. - М.: АО "Столетие", 1995. – 196с.

57. Шафрин Ю. А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 2: Офисная технология и информационные системы [Текст] / Ю.А. Шафрин. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 423с.

58. Шемякин Ф.Н. Ориентация в пространстве. Психологическая наука в СССР [Текст] / Ф.Н. Шемякин. - М., 1959. С. 140 — 142.

59. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников [Текст] / И.С. Якиманская. - М.: Просвещение, 1980. – 325с.

Приложение 1

Конспект урока по теме «Цилиндр. Решение задач»

Тема: Понятие цилиндра. Решение задач (2часа).

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

- ввести понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов;

- выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;

- рассмотрение типовых задач по изучаемой теме;

- формирование навыков решения задач на нахождение элементов цилиндра,

- способствовать развитию пространственного воображения и речи учащихся.

Задачи:

1. Познакомить учащихся с понятиями цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов (боковая поверхность, основания, образующие, ось, высота, радиус);

2. Научить учащихся выводить формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;

3. Научить учащихся решать задачи на нахождение элементов цилиндра, площади поверхности цилиндра;

4. Работа на готовых чертежах;

5. Закрепить знания и умения учащихся по изучаемой теме.

Этапы урока:

1. Организационный момент – 2 мин.

2. Актуализация опорных знаний – 10 мин.

3. Изучение нового материала - 10 мин.

4. Закрепление нового материала - 25 мин.

5. Решение задач – 25 мин.

6. Итог урока - 4 мин.

Дидактические материалы и оборудование: Доска, мел, компьютер, проектор, учебник.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь.

Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Понятие цилиндра. Решение задач». Сегодня на уроке мы введем понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов; выведем формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра; рассмотрим типовые задачи по изучаемой теме, а также решим более сложные задачи.

2. Актуализация опорных знаний.

Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по теме «Круг. Окружность», которая нам потребуются при изучении нашей темы. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность)

2. Чем отличается круг от окружности?

3. Дан отрезок АВ . Какая фигура получится при вращении вокруг точки А точки В ? (окружность)

5. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А ? (круг с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ )

6. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность?

- Какие предметы окружающей остановки напоминают вам цилиндр?

3. Изучение новой темы.

- Дает определение цилиндрической поверхности, цилиндра и его изображение на плоскости. Показывает слайд 1.

- Рассматривает варианты получения цилиндра, слайд 2.


- Понятие осевого сечения цилиндра, формулировка его свойств, слайд 3.

- Докажите устно эти свойства.

-Рассматривает неосевые сечения цилиндра: сечения цилиндра плоскостью, параллельной и перпендикулярной оси цилиндра (слайды 4 и 5).


-

Вводит понятие касательной плоскости цилиндра (слайд 6).

- Ребята как вы думаете, что собой представляет развертка цилиндра? Показывает слайд 7.

-Вместе с учениками выводит формулу площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Закрепление нового материала.

Для того чтобы выяснить, как учащиеся усвоили новый материал, им предлагается ответить на следующие вопросы, ответы на которые обсуждаются всем классом:

1. Укажите среди окружающих вас предметов в природе, технике объекты, имеющие формы цилиндра.

2. При вращении какой фигуры получается цилиндр?

3. Я буду показывать основные элементы цилиндра, а вы их называете.

4. Может ли осевое сечение быть: прямоугольником; квадратом; трапецией? почему?

5. Цилиндр катится по плоскости. Какая фигура получается при движении его оси?

4. Решение задач.

- А сейчас давайте начнем решать задачи. Сначала решим четыре задачи на готовых чертежах устно (слайды 8 - 11).


Хорошо, а теперь следующие задачи решаем письменно (слайды 12-14).

- А сейчас открывайте учебники и начинаем решать задачи №2, №3, №5 [41, с. 334].

№2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q . Найдите площадь основания цилиндра.


№3. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

№5. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.

5. Итог урока

- Итак, ребята, на этом уроке вы познакомились с понятиями цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементами. Вывели формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра и научились применять эти формулы при решении задач. Запишите домашнее задание П. 181 - 183, №4, №6 [41, с. 334]. Спасибо за урок, до свидания.

Приложение 2

Конспект урока по теме «Конус»

Тема: Конус (4 часа).

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

- формирование понятий конической поверхности, конуса, усеченного конуса и их элементов;

- умение работать с рисунком и читать его;

- выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса;

- рассмотрение типовых задач по изучаемой теме;

- формирование навыков решения задач на нахождение элементов конуса, площади поверхности конуса;

- способствовать развитию пространственного воображения и речи учащихся.

Задачи:

1. Познакомить учащихся с понятиями конической поверхности, конуса, усеченного конуса;

2. Научить учащихся выводить формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;

3. Закрепить навык работы с данными формулами при решении типовых задач;

4. Работа на готовых чертежах;

5. Закрепить знания и умения учащихся по изучаемой теме.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление нового материала.

5. Историческая справка.

6. Усеченный конус.

7. Решение задач.

8. Итог урока.

Дидактические материалы и оборудование: Доска, мел, компьютер, проектор, учебник.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь.

Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Конус». Сегодня на уроке мы введем понятия конической поверхности, конуса; рассмотрим типовые задачи по изучаемой теме.

2. Актуализация опорных знаний.

Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по теме «Круг. Окружность», «Цилиндр», которые нам потребуются при изучении нашей темы. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность, цилиндр).

2. Чем отличается круг от окружности?

3. Дан отрезок АВ. Какая фигура получится при вращении вокруг точки А точки В? (окружность)

4. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А? (круг с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ)

5. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность (около окружности)?

6. Дайте определение цилиндра.

7. Какие предметы окружающей остановки напоминают вам цилиндр?

8. Назовите и покажите основные элементы цилиндра.

3. Изучение новой темы.

Сегодня мы рассматриваем пространственную геометрическую фигуру - «круглое», геометрическое тело - конус (слайд 1).


А теперь запишем определение новых понятий в тетрадях по теории и построим чертеж конуса.

Конической поверхностью называется поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой перпендикуляра, проведенного к плоскости окружности через ее центр. Эти отрезки называются образующими конической поверхности.

Изображение конуса на чертеже (слайд 2)

Комментарий учителя к построению: изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. Здесь, граница круга - окружность - изображается на плоскости эллипсом.

Сообщает, что конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (слайд 3)


- Ребята как вы думаете, что собой представляет развертка цилиндра? Показывает слайд 4.

- Дается определение сечения, и рассматривают различные сечения конуса: (слайды 5 -7)

1) Сечение, проходящее через ось конуса, называется осевым. Какую фигуру представляет это сечение? (равнобедренный треугольник);

2) Сечение, проходящее через вершину конуса но не ось, - треугольник. Какой вид у треугольника? Чем являются боковые стороны?

3) Сечение, перпендикулярное оси конуса, - круг, (S1 ). Как найти коэффициент подобия сечения и основания? Как по радиусу основания найти радиус сечения?

4) Сечение плоскостью, пересекающей все обра­зующие, - эллипс. (S2 )

5) Сечение плоскостью, параллельной двум обра­зующим конуса, - гипербола (S3 )

6) Сечение плоскостью, параллельной одной образующей, - парабола (S4 )

- Вводит понятие касательной плоскости. (слайд 8)


Закрепление нового материала.

- Назвать две образующие конуса, сравнить их. Сделать вывод. (Добиться от учеников вывода равенства двух образующих конуса.)

- Назвать углы наклона образующих конуса к плоскости основания, сравнить их. (Доказательство равенства углов.)

- Каков угол между осью конуса и основанием. Почему?

- Каков вид треугольника АОР? (слайд 9)

- Каким способом можно получить конус?

4. Историческая справка

Исторически появление эллипса, параболы и гиперболы связано с изучением конических сечений математиками Древней Греции. Основной труд Апполония Пергского так и назывался - «Конические сечения» (III век до н.э.). Эти кривые интересны еще и тем, что траектория движения небесных тел происходит по одной из этих кривых. Это так же траектория движения космических ракет.

5. Усеченный конус.

Сегодня мы познакомимся еще с одной геометрической фигурой и ее свойствами. Посмотрите на экран, там вы видите модель конуса. Проведем секущую плоскость, перпендикулярно оси конуса (слайд 10). Эта плоскость разбивает наш конус на две части. Одна часть – это меньший конус, а другая называется усеченным конусом. А теперь изучим модель усеченного конуса (слайд 11).

6. Решение задач.

- А сейчас давайте начнем решать задачи по изученной теме. Сначала решим задачи на готовых чертежах (слайды 12-15).



1200

R, H - ?

- Далее выводится формула для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса.

1200



7. Итог урока

- Объясните, какое тело называется конусом?

- Что такое образующая конуса?

- Радиус основания конуса 3см, высота 4см. Найти образующую.

Запишите домашнее задание П.184 - 186, №12, №19 [41, с. 335]. Спасибо за урок, до свидания.

Приложение 3

Конспект урока по теме «Сфера и шар»

Тема: Сфера. Шар (4 часа).

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

- формирование понятий сфера, шар и их элементов;

- выведение уравнения сферы, формул для вычисления площади поверхностей шара;

- рассмотрение типовых задач по изучаемой теме;

- способствовать развитию пространственного воображения и речи учащихся.

Задачи:

1. Познакомить учащихся с понятиями сфера, шар;

2. Научить учащихся выводить уравнение сферы и формулы для вычисления площади поверхностей шара;

3. Закрепить навык работы с данными формулами при решении типовых задач;

4. Работа на готовых чертежах;

5. Закрепить знания и умения учащихся по изучаемой теме.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление нового материала.

5. Решение задач.

6. Итог урока.

Дидактические материалы и оборудование: Доска, мел, компьютер, проектор, учебник.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь.

Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Конус». Сегодня на уроке мы введем понятия конической поверхности, конуса; рассмотрим типовые задачи по изучаемой теме.

2. Актуализация опорных знаний.

Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по теме «Круг. Окружность», «Цилиндр», « Конус», которые нам потребуются при изучении данной темы. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность, цилиндр, конус).

2. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А? (круг с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ)

3. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность (около окружности)?

4. Дайте определение цилиндра, конуса.

5. При вращении каких фигур получается цилиндр, конус?

6. Какие предметы окружающей остановки напоминают вам цилиндр?

7. Назовите и покажите основные элементы цилиндра, конуса.

3. Изучение новой темы.

Сегодня мы рассматриваем еще одну пространственную геометрическую фигуру, геометрическое тело - шар.

- Дает определение шара и его элементов, показывает слайд 1.

- Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра (слайд 2).

- Выводится уравнение сферы (слайд 3).

- Рассматривает сечение шара плоскостью (слайды 4-5).




- Далее рассматривает взаимное расположение шара и плоскости (слайды 6-8).

- Затем рассказывает о касательной плоскости к шару (слайд 9).


- Далее выводится формула для вычисления площади поверхности шара.


4. Закрепление нового материала.

- Что называется сферой, радиусом сферы? Как может быть получена сфера?

- Что называется шаром? Как может быть получен шар?

- Что называется уравнением поверхности?

- Какой вид имеет уравнение сферы?

- Каково взаимное расположение шара и плоскости?

- Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ ? (да)

- Могут ли две сферы с общим центром и неравными радиусами иметь общую касательную плоскость? (нет)

5. Решение задач.

1). Найти геометрическое место точек, удаленных от данной точки на расстояние, которое меньше или равно 10 см (шар радиусом 10 см).

2). Точки А и В лежат на сфере с центром , а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что если М – середина отрезка АВ, то .

3). Сечение шара плоскостью имеет площадь 36 2 ). Радиус шара 10 м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

4). На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти три точки.

5). В тетради построить чертеж фигуры, при вращении которой получится сфера и вписанный в нее цилиндр.

6). Даны точки А(-3; 1,5; -2) и В(3; -2,5; 2). Отрезок АВ является диаметром сферы.

а) Запишите уравнение сферы

б) Принадлежит ли сфере точка с координатами (; -1; 5; 3), (3; 2,5; 1)

7). Доказать, что т. А(4; -2; 1) принадлежит сфере

8). Шар радиуса 6 см пересечен плоскостью. Расстояние от центра шара до этой плоскости 4 см. Найти площадь сечения.

6. Итог урока

- Повторите определение шара и сферы.

- Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения шара и плоскости. Каковы они?

- Вспомните понятие касательной плоскости к сфере, свойство и признак касательной плоскости.

- В ходе сегодняшнего урока были решены задачи, которые помогут решению домашних задач.

Задачи:

1. Сфера задана уравнением .

а). Найдите координаты центра и радиус сферы.

б). Найдите значение m , при котором точки принадлежат данной сфере.

2. Диаметр шара равен 16 см. через конец диаметра под углом 600 к нему проведено сечение шара. Найдите площадь сечения.

ОТКРЫТЬ САМ ДОКУМЕНТ В НОВОМ ОКНЕ

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]

Ваше имя:

Комментарий